How many ways are there to prove the Pythagorean theorem? - Betty Fei

תרגום: Ido Dekkers עריכה: Roni Ravia

What do Euclid,

מה משתוף לאוקלידס,

twelve-year-old Einstein,

לאיינשטיין בן ה 12,

and American President James Garfield have in common?

ולנשיא האמריקאי ג'יימס גארפילד?

They all came up with elegant proofs for the famous Pythagorean theorem,

כולם העלו הוכחות אלגנטיות למשפט פיתגורס המפורסם,

the rule that says for a right triangle,

החוק שאומר שבמשולש ישר זוית,

the square of one side plus the square of the other side

סכום ריבועי שתי הצלעות

is equal to the square of the hypotenuse.

שווה לריבוע של היתר.

In other words, a²+b²=c².

במילים אחרות, a²+b²=c².

This statement is one of the most fundamental rules of geometry,

הצהרה זו היא אחד מהעקרונות הכי בסיסיים בגאומטריה,

and the basis for practical applications,

והבסיס לשימושים פרקטיים,

like constructing stable buildings and triangulating GPS coordinates.

כמו בניית בניינים יציבים ואיכון מיקום ב GPS.

The theorem is named for Pythagoras,

התאוריה נקראת על שם פיתגורס,

a Greek philosopher and mathematician in the 6th century B.C.,

פילוסוף יווני ומתמטיקאי במאה ה 6 לפני הספירה,

but it was known more than a thousand years earlier.

אבל היא היתה ידועה עוד למעלה מאלף שנים לפני כן.

A Babylonian tablet from around 1800 B.C. lists 15 sets of numbers

טבלה בבילונית מסביבות 1800 לפני הספירה מפרטת 15 סדרות של מספרים

that satisfy the theorem.

שמתאימות לתאוריה.

Some historians speculate that Ancient Egyptian surveyors

מספר הסטוריונים מעריכים שהמודדים המצרים העתיקים

used one such set of numbers, 3, 4, 5, to make square corners.

השתמשו בסדרת מספרים אחת מבין אלה, 3,4,5, כדי ליצור פינות ישרות.

The theory is that surveyors could stretch a knotted rope with twelve equal segments

התאוריה היא שהמודדים יכלו למתוח חבל המחולק ע״י קשרים, לשניים עשר חלקים שווים,

to form a triangle with sides of length 3, 4 and 5.

כדי ליצור משולש עם צלעות באורך 3,4,5.

According to the converse of the Pythagorean theorem,

לפי ההנחה של משפט פיתגורס,

that has to make a right triangle,

צלעות אלו חייבות ליצור משולש ישר זווית,

and, therefore, a square corner.

ולכן, פינה ישרה.

And the earliest known Indian mathematical texts

הטקסטים המתמטיים ההודים המוקדמים ביותר,

written between 800 and 600 B.C.

שנכתבו בין 800 ל 600 לפני הספירה,

state that a rope stretched across the diagonal of a square

טוענים שחבל שנמתח לאורך אלכסון של ריבוע

produces a square twice as large as the original one.

מהווה צלע בריבוע הגדול פי שניים מהמקורי.

That relationship can be derived from the Pythagorean theorem.

יחס זה יכול להיות מחושב ע״י משפט פיתגורס.

But how do we know that the theorem is true

אבל איך אנחנו יודעים שהמשפט נכון

for every right triangle on a flat surface,

לכל משולש ישר זווית על משטח חלק,

not just the ones these mathematicians and surveyors knew about?

לא רק לאלו שהיו ידועים למתמטיקאים ולמודדים הנ״ל?

Because we can prove it.

משום שהמשפט הוא בר הוכחה.

Proofs use existing mathematical rules and logic

הוכחות משתמשות בהגיון ובחוקים מתמטיים קיימים

to demonstrate that a theorem must hold true all the time.

כדי להדגים שתאוריה חייבת להיות תקפה כל הזמן.

One classic proof often attributed to Pythagoras himself

הוכחה קלאסית אחת שרבים משייכים לפיתגורס עצמו

uses a strategy called proof by rearrangement.

משתמשת באסטרטגיה שנקראת הוכחה ע״י סידור מחדש.

Take four identical right triangles with side lengths a and b

קחו ארבעה משולשים ישרי זוית זהים עם צלעות באורך a ו b

and hypotenuse length c.

ויתר באורך c.

Arrange them so that their hypotenuses form a tilted square.

סדרו אותם כך שהיתרים שלהם יצרו ריבוע נטוי.

The area of that square is c².

השטח של הריבוע הוא c².

Now rearrange the triangles into two rectangles,

עכשיו סדרו את המשולשים לשני מלבנים,

leaving smaller squares on either side.

עם ריבועים קטנים בכל צד.

The areas of those squares are a² and b².

השטח של הריבועים האלו הוא a² ו b².

Here's the key.

הנה המפתח.

The total area of the figure didn't change,

השטח הכולל של הצורה לא השתנה,

and the areas of the triangles didn't change.

והשטח של המשולשים לא השתנה.

So the empty space in one, c²

אז השטח הלבן במקרה הראשון c²

must be equal to the empty space in the other,

חייב להיות שווה לשטח הלבן במצב השני,

a² + b².

a² + b².

Another proof comes from a fellow Greek mathematician Euclid

הוכחה נוספת מגיעה ממתמטיקאי יווני נוסף בשם אוקלידס

and was also stumbled upon almost 2,000 years later

ואותה גם בחן כמעט 2,000 שנה מאוחר יותר

by twelve-year-old Einstein.

אינשטיין בן השתים עשרה.

This proof divides one right triangle into two others

ההוכחה מחלקת משולש ישר זווית אחד לשני משולשים ישרי זוית אחרים

and uses the principle that if the corresponding angles of two triangles

ומשתמשת בעקרון שאם הזוויות המתאימות של שני המשולשים

are the same,

זהות,

the ratio of their sides is the same, too.

היחס של הצלעות שלהם זהה גם כן.

So for these three similar triangles,

אז לשלושת המשולשים הדומים הללו,

you can write these expressions for their sides.

ניתן לכתוב את הביטויים הבאים עבור הצלעות שלהם.

Next, rearrange the terms.

בהמשך, סדרו מחדש את הביטויים.

And finally, add the two equations together and simplify to get

ולבסוף, חברו את שתי המשווואות ופשטו כדי לקבל

ab²+ac²=bc²,

AB²+AC²=BC²,

or a²+b²=c².

או a²+b²=c².

Here's one that uses tessellation,

הנה הוכחה שמשתמש בריצוף של המישור,

a repeating geometric pattern for a more visual proof.

תבנית גאומטרית חוזרת שמציגה הוכחה יותר ויזואלית.

Can you see how it works?

אתם רואים איך זה עובד?

Pause the video if you'd like some time to think about it.

עצרו את הסרטון אם תרצו קצת זמן למחשבה.

Here's the answer.

הנה התשובה.

The dark gray square is a²

הריבוע האפור הכהה הוא a²

and the light gray one is b².

והריבוע האפור הבהיר הוא b².

The one outlined in blue is c².

זה שתחום בקוים כחולים הוא c².

Each blue outlined square contains the pieces of exactly one dark

כל ריבוע התחום בקווים כחולים מכיל בדיוק

and one light gray square,

ריבוע אחד כהה וריבוע אחד בהיר,

proving the Pythagorean theorem again.

מה שמוכיח שוב את משפט פיתגורס.

And if you'd really like to convince yourself,

ואם אתם באמת רוצים לשכנע את עצמכם,

you could build a turntable with three square boxes of equal depth

אתם יכולים לבנות שולחן מסתובב עם שלוש קופסאות ריבועיות בעומק שווה

connected to each other around a right triangle.

מחוברות אחת לשניה סביב משולש ישר זווית.

If you fill the largest square with water and spin the turntable,

אם אתם ממלאים את הריבוע הגדול במים ומסובבים את השולחן,

the water from the large square will perfectly fill the two smaller ones.

המים מהריבוע הגדול ימלאו בדיוק את שני ההקטנים.

The Pythagorean theorem has more than 350 proofs, and counting,

למשפט פיתגורס יש יותר מ 350 הוכחות, והספירה נמשכת,

ranging from brilliant to obscure.

שנעות בין גאוניות למוזרות.

Can you add your own to the mix?

האם אתם יכולים להוסיף הוכחה משלכם?