How many ways are there to prove the Pythagorean theorem? - Betty Fei

Na koliko se načina može dokazati Pitagorin poučak? - Betty Fei

Prevoditelj: Irma Komljenović Recezent: Ivan Stamenković

What do Euclid,

Što Euklid,

twelve-year-old Einstein,

dvanaestogodišnji Einstein,

and American President James Garfield have in common?

i američki predsjednik James Garfield imaju zajedničko?

They all came up with elegant proofs for the famous Pythagorean theorem,

Svi su pronašli elegantne dokaze za slavni Pitagorin poučak,

the rule that says for a right triangle,

pravilo koje kaže da je u pravokutnom trokutu

the square of one side plus the square of the other side

zbroj kvadrata dvije stranice

is equal to the square of the hypotenuse.

jednak kvadratu hipotenuze.

In other words, a²+b²=c².

Drugim riječima, a²+b²=c².

This statement is one of the most fundamental rules of geometry,

Ta je izjava jedno od fundamentalnih pravila geometrije,

and the basis for practical applications,

i osnova praktičnih primjena,

like constructing stable buildings and triangulating GPS coordinates.

poput konstrukcije stabilnih zgrada i triangulacija GPS koordinata.

The theorem is named for Pythagoras,

Poučak je nazvan po Pitagori,

a Greek philosopher and mathematician in the 6th century B.C.,

grčkom filozofu i matematičaru iz 6. st. pr. Kr.,

but it was known more than a thousand years earlier.

no bio je poznat više od tisuću godina ranije.

A Babylonian tablet from around 1800 B.C. lists 15 sets of numbers

Na babilonskoj ploči iz 1800. g. pr Kr. nabrojanih je 15 nizova brojeva

that satisfy the theorem.

koji zadovoljavaju poučak.

Some historians speculate that Ancient Egyptian surveyors

Neki povjesničari nagađaju da su nadzornici u starom Egiptu

used one such set of numbers, 3, 4, 5, to make square corners.

koristili takav niz brojeva, 3, 4, i 5, kako bi napravili prave kutove.

The theory is that surveyors could stretch a knotted rope with twelve equal segments

U teoriji su nadzornici rastezali uže sa čvorovima s dvanaest jednakih dijelova

to form a triangle with sides of length 3, 4 and 5.

kako bi napravili trokut čije su stranice duljine 3, 4 i 5.

According to the converse of the Pythagorean theorem,

Ako obrnemo Pitagorin poučak,

that has to make a right triangle,

znamo da je trokut pravokutan,

and, therefore, a square corner.

pa je i kut pravi.

And the earliest known Indian mathematical texts

U najranijim poznatim indijskim tekstovima o matematici,

written between 800 and 600 B.C.

napisanim između 800. i 600. g. pr. Kr.,

state that a rope stretched across the diagonal of a square

piše da uže rastegnuto po dijagonali kvadrata

produces a square twice as large as the original one.

stvara dvostruko veći kvadrat od početnog.

That relationship can be derived from the Pythagorean theorem.

Tu se vezu može izvući i iz Pitagorinog poučka.

But how do we know that the theorem is true

No kako da znamo da poučak vrijedi

for every right triangle on a flat surface,

za svaki pravokutan trokut na ravnoj površini,

not just the ones these mathematicians and surveyors knew about?

a ne samo za one za koje su matematičari i nadzornici znali?

Because we can prove it.

Jer to možemo dokazati.

Proofs use existing mathematical rules and logic

Dokazi koriste već postojeća pravila matematike i logiku

to demonstrate that a theorem must hold true all the time.

kako bi u svakom trenutku mogli dokazati istinost poučka.

One classic proof often attributed to Pythagoras himself

U jednom je klasičnom primjeru, često pripisanom samome Pitagori,

uses a strategy called proof by rearrangement.

iskorištena strategija zvana dokazivanje pomoću premještanja.

Take four identical right triangles with side lengths a and b

Zamisli četiri potpuno jednaka pravokutna trokuta duljina kateta a i b

and hypotenuse length c.

te duljine hipotenuze c.

Arrange them so that their hypotenuses form a tilted square.

Premjesti ih tako da njihove hipotenuze čine kosi kvadrat.

The area of that square is c².

Površina tog kvadrata je c².

Now rearrange the triangles into two rectangles,

Sad premjesti trokute u dva pravokutnika,

leaving smaller squares on either side.

tako da manji kvadrati ostanu na obje strane.

The areas of those squares are a² and b².

Površine ta dva kvadrata su a² i b².

Here's the key.

U ovome je stvar.

The total area of the figure didn't change,

Ukupna površina lika i površine trokuta

and the areas of the triangles didn't change.

nisu se promijenile.

So the empty space in one, c²

Onda površina praznine u jednom liku, c²,

must be equal to the empty space in the other,

mora biti jednaka površinama praznina u drugom liku,

a² + b².

a² + b².

Another proof comes from a fellow Greek mathematician Euclid

Još jedan dokaz dolazi od grčkog matematičara Euklida

and was also stumbled upon almost 2,000 years later

na kojeg je skoro 2,000 godina kasnije naišao dvanaestogodišnji Einstein.

by twelve-year-old Einstein.

This proof divides one right triangle into two others

U ovom dokazu pravokutan je trokut podijeljen na dva manja,

and uses the principle that if the corresponding angles of two triangles

i ako su veličine odgovarajućih kutova ta dva trokuta jednake,

are the same,

the ratio of their sides is the same, too.

omjer duljina njihovih stranica je jednak.

So for these three similar triangles,

Za stranice tih tri sličnih trokuta

you can write these expressions for their sides.

možeš napisati ove izraze.

Next, rearrange the terms.

Sada promijeni uvjete.

And finally, add the two equations together and simplify to get

I napokon, zbroji te dvije jednadžbe i pojednostavni ih da dobiješ

ab²+ac²=bc²,

ab²+ac²=bc²,

or a²+b²=c².

ili a²+b²=c².

Here's one that uses tessellation,

Ovaj primjer koristi mozaike,

a repeating geometric pattern for a more visual proof.

ponavljane geometrijske uzorke, kao vizualan dokaz.

Can you see how it works?

Vidiš li kako funkcionira?

Pause the video if you'd like some time to think about it.

Zaustavi video ako hoćeš promisliti o tome.

Here's the answer.

Evo odgovora.

The dark gray square is a²

Površina tamno sivog kvadrata je a²,

and the light gray one is b².

a svijetlo sivog je b².

The one outlined in blue is c².

Površina kvadrata s plavim konturama je c².

Each blue outlined square contains the pieces of exactly one dark

Svaki plavi kvadrat građen je od točno jednog tamnog

and one light gray square,

i jednog svijetlo sivog kvadrata,

proving the Pythagorean theorem again.

ponovno dokazujući Pitagorin poučak.

And if you'd really like to convince yourself,

Želiš li stvarno biti uvjeren,

you could build a turntable with three square boxes of equal depth

mogao bi napraviti okretnicu s tri kvadratne kutije jednakih dubina

connected to each other around a right triangle.

povezane jedna s drugom oko pravokutnog trokuta.

If you fill the largest square with water and spin the turntable,

Napuniš li najveću s vodom i zavrtiš okretnicu,

the water from the large square will perfectly fill the two smaller ones.

voda iz velikog kvadrata savršeno će ispuniti dva manja.

The Pythagorean theorem has more than 350 proofs, and counting,

Za Pitagorin poučak postoji više od 350 dokaza, i briljantnih i nejasnih,

ranging from brilliant to obscure.

i još ih se može naći.

Can you add your own to the mix?

Možeš li dodati svoj dokaz tom popisu?