How many ways are there to prove the Pythagorean theorem? - Betty Fei

Pisagor teoremini ispat etmenin kaç yolu vardır? - Betty Fei

Çeviri: Ramazan Şen Gözden geçirme: Suleyman Cengiz

"Akıl ölümsüzdür, geri kalan her şey ölümlüdür." Pisagor

What do Euclid,

Öklit'in,

20 yaşındaki Einstein'in

twelve-year-old Einstein,

and American President James Garfield have in common?

ve Amerikan başkanı James Garfield'in ortak yanı nedir?

They all came up with elegant proofs for the famous Pythagorean theorem,

Hepsi meşhur Pisagor teoremi için zekice kanıtlar buldu.

the rule that says for a right triangle,

Bu kuralda, bir dik üçgende

the square of one side plus the square of the other side

bir kenarın karesi ile diğer kenarın karesinin toplamı

is equal to the square of the hypotenuse.

hipotenüsün karesine eşittir.

Yani, a²+b²=c².

In other words, a²+b²=c².

This statement is one of the most fundamental rules of geometry,

Bu ifade en temel geometri kurallarından biridir

and the basis for practical applications,

ve pratik uygulamalar için temeldir,

like constructing stable buildings and triangulating GPS coordinates.

stabil binalar inşa etme ve GPS koordinatlarının üçgenlenmesi gibi.

The theorem is named for Pythagoras,

Teoreme M.Ö. 6. yy'da yaşayan

a Greek philosopher and mathematician in the 6th century B.C.,

Yunan filozof ve matematikçi Pisagor'un adı verildi,

but it was known more than a thousand years earlier.

fakat bu bin yıldan fazladır biliniyordu.

A Babylonian tablet from around 1800 B.C. lists 15 sets of numbers

M.Ö. 1800'lü yıllardan kalma bir Babil tableti, teoremi karşılayan

15 sayı grubunu listeliyor.

that satisfy the theorem.

Bazı tarihçiler Antik Mısır ölçmecilerinin dik kareler yapmak için

Some historians speculate that Ancient Egyptian surveyors

used one such set of numbers, 3, 4, 5, to make square corners.

3,4,5 gibi sayılar kümesi kullandıklarını tahmin ediyor.

The theory is that surveyors could stretch a knotted rope with twelve equal segments

Teoriye göre, ölçmeciler 12 eşit parçaya düğümlenmiş bir ipi gererek

to form a triangle with sides of length 3, 4 and 5.

kenarları 3,4 ve 5 uzunluğunda olan bir üçgen oluştururmuş.

According to the converse of the Pythagorean theorem,

Pisagor teoremine göre

that has to make a right triangle,

bunun bir dik üçgen ve dolayısıyla

and, therefore, a square corner.

bir dik kenar yapması gerekir.

And the earliest known Indian mathematical texts

Ve M.Ö. 800 ve 600 arasında yazılmış

written between 800 and 600 B.C.

bilinen en erken Hint matematik yazılarında

state that a rope stretched across the diagonal of a square

karenin köşegenleri boyunca uzatılan bir ipin

produces a square twice as large as the original one.

orjinalinin iki katı büyüklüğünde bir kare ürettiği belirtilir.

That relationship can be derived from the Pythagorean theorem.

Bu ilişki Pisagor teoreminden türetilebilir.

But how do we know that the theorem is true

Fakat teoremin sadece matematikçilerin ve ölçmecilerin bildiklerinden hariç olan

for every right triangle on a flat surface,

düz yüzeydeki her dik üçgen için

not just the ones these mathematicians and surveyors knew about?

doğru olduğunu nereden bileceğiz?

Because we can prove it.

Çünkü bunu ispatlayabiliriz.

Proofs use existing mathematical rules and logic

İspatlar teoremin her zaman doğru olduğunu göstermek için

to demonstrate that a theorem must hold true all the time.

mevcut matematiksel kuralları ve mantığı kullanır.

One classic proof often attributed to Pythagoras himself

Daha çok Pisagor'un kendisine atfedilen klasik ispatlardan biri

uses a strategy called proof by rearrangement.

yeniden düzenleme ile kanıt denen bir strateji kullanır.

Take four identical right triangles with side lengths a and b

Kenar uzunlukları a, b ve hipotenüs uzunluğu c olan

and hypotenuse length c.

dört tane aynı dik üçgeni alın.

Arrange them so that their hypotenuses form a tilted square.

Onları öyle bir yerleştirin ki hipotenüsleri eğik bir kare oluştursun.

Bu karenin alanı c²'dir.

The area of that square is c².

Now rearrange the triangles into two rectangles,

Şimdi üçgenleri kenarlarında daha küçük kareler bırakan

leaving smaller squares on either side.

iki dikdörtgen olacak şekilde tekrar yerleştirin.

The areas of those squares are a² and b².

Bu karelerin alanları a² ve b² 'dir.

Here's the key.

İşte işin anahtarı.

The total area of the figure didn't change,

Şeklin toplam alanı

and the areas of the triangles didn't change.

ve üçgenlerin alanı değişmez.

So the empty space in one, c²

Yani birindeki boş alan olan c²

must be equal to the empty space in the other,

diğerindeki boş alana eşit olmalı,

a² + b².

a² + b².

Another proof comes from a fellow Greek mathematician Euclid

Yunan matematikçi Öklitten gelen diğer bir ispat

and was also stumbled upon almost 2,000 years later

2.000 yıl sonra 12 yaşındaki Einstein tarafından da

by twelve-year-old Einstein.

tesadüfen bulundu.

This proof divides one right triangle into two others

Bu kanıt bir dik üçgeni iki parçaya böler

and uses the principle that if the corresponding angles of two triangles

ve eğer iki üçgenin karşılıklı açıları aynıysa,

are the same,

kenarlarının oranının da

the ratio of their sides is the same, too.

aynı olması gerektiği prensibini kullanır.

Yani, bu üç benzer üçgende,

So for these three similar triangles,

you can write these expressions for their sides.

kenarları için bu ifadeleri yazabilirsiniz.

Next, rearrange the terms.

Daha sonra, terimleri yeniden düzenleyin.

And finally, add the two equations together and simplify to get

Ve sonunda, iki denklemi birbirine ekleyip sadeleştirirseniz

ab²+ac²=bc²,

ab²+ac²=bc²,

or a²+b²=c².

veya a²+b²=c² elde edersiniz.

Here's one that uses tessellation,

Bu da daha görsel bir ispat için

a repeating geometric pattern for a more visual proof.

tekrar eden geometrik bir desen olan mozaiği kullanır.

Can you see how it works?

Nasıl işlediğini görebiliyor musunuz?

Pause the video if you'd like some time to think about it.

Biraz düşünmek için biraz zaman isterseniz videoyu durdurun.

Here's the answer.

İşte cevabı.

The dark gray square is a²

Koyu gri kare a²

and the light gray one is b².

ve açık gri olanı da b².

The one outlined in blue is c².

Mavi ile gösterilen dış hat c².

Each blue outlined square contains the pieces of exactly one dark

Her mavi dış hat ile belirtilen kare bir koyu ve bir açık gri karenin

and one light gray square,

parçalarını içerir

proving the Pythagorean theorem again.

ve tekrar Pisagor teoremini ispatlar.

And if you'd really like to convince yourself,

Eğer kendini gerçekten ikna etmek istiyorsan

you could build a turntable with three square boxes of equal depth

dik üçgen etrafında birbirine bağlı, eşit derinlikle

connected to each other around a right triangle.

üç kare kutu ile döner tabla inşa edebilirsin.

En büyük kareyi suyla doldurup döner tablayı çevirirsen

If you fill the largest square with water and spin the turntable,

the water from the large square will perfectly fill the two smaller ones.

büyük karedeki su iki küçük kareyi tamamen dolduracaktır.

The Pythagorean theorem has more than 350 proofs, and counting,

Pisagor teoreminin zekice olanından müphem olanına kadar

ranging from brilliant to obscure.

350'den fazla ispatı bulunuyor.

Can you add your own to the mix?

Karışıma kendininkini ekleyebilir misin?

Bu ders eğlenceli miydi?

Eğer öyleyse, kâr amacı gütmeyen hizmetimizi desteklemek için

patreon.com/teded adresini ziyaret edin.