How many ways are there to prove the Pythagorean theorem? - Betty Fei

¿Cuántas formas hay de demostrar el teorema de Pitágoras? - Betty Fei

Traductor: Ciro Gomez Revisor: Lidia Cámara de la Fuente

"La razón es inmortal, todo lo demás es mortal" Pitágoras

What do Euclid,

Que tienen Euclides

twelve-year-old Einstein,

Einstein, de doce años,

and American President James Garfield have in common?

y el presidente estadounidense James Garfield, en común?

They all came up with elegant proofs for the famous Pythagorean theorem,

Todos presentaron pruebas elegantes para el famoso teorema de Pitágoras,

the rule that says for a right triangle,

la regla que dice que en un triángulo rectángulo,

the square of one side plus the square of the other side

el cuadrado de un lado más el cuadrado del otro lado

is equal to the square of the hypotenuse.

es igual al cuadrado de la hipotenusa.

In other words, a²+b²=c².

En otras palabras, a² + b² = c².

This statement is one of the most fundamental rules of geometry,

Esta afirmación es una de las reglas más fundamentales de la geometría

and the basis for practical applications,

y la base para aplicaciones prácticas

like constructing stable buildings and triangulating GPS coordinates.

como la construcción de edificios estables y la triangulación de coordenadas del GPS.

The theorem is named for Pythagoras,

El teorema se llama así por Pitágoras,

a Greek philosopher and mathematician in the 6th century B.C.,

un filósofo griego y matemático del siglo VI aC,

but it was known more than a thousand years earlier.

pero se conocía hacía más de mil años.

A Babylonian tablet from around 1800 B.C. lists 15 sets of numbers

Una tableta babilónica de alrededor de 1800 aC lista 15 series de números

that satisfy the theorem.

que satisfacen el teorema.

Some historians speculate that Ancient Egyptian surveyors

Algunos historiadores especulan que los agrimensores egipcios antiguos

used one such set of numbers, 3, 4, 5, to make square corners.

utilizaban uno de esos conjuntos, el 3, 4, 5, para hacer esquinas cuadradas.

The theory is that surveyors could stretch a knotted rope with twelve equal segments

La teoría es que los topógrafos

extendían una cuerda anudada con 12 segmentos iguales

to form a triangle with sides of length 3, 4 and 5.

para formar un triángulo con lados de longitud 3, 4 y 5.

According to the converse of the Pythagorean theorem,

Según lo que dice el teorema de Pitágoras,

that has to make a right triangle,

esto tiene que hacer un triángulo rectángulo,

and, therefore, a square corner.

y, por lo tanto, una esquina cuadrada.

And the earliest known Indian mathematical texts

Y los primeros textos matemáticos indios conocidos

written between 800 and 600 B.C.

escritos entre 800 y 600 aC

state that a rope stretched across the diagonal of a square

establecen que una cuerda estirada a través de la diagonal de un cuadrado

produces a square twice as large as the original one.

produce un cuadrado dos veces mayor que el original.

That relationship can be derived from the Pythagorean theorem.

Esa relación puede derivarse del teorema de Pitágoras.

But how do we know that the theorem is true

Pero ¿cómo sabemos que el teorema es verdadero

for every right triangle on a flat surface,

para cada triángulo recto sobre una superficie plana,

not just the ones these mathematicians and surveyors knew about?

no solo los que estos matemáticos y topógrafos conocían?

Because we can prove it.

Porque podemos demostrarlo.

Proofs use existing mathematical rules and logic

Las pruebas usan las reglas matemáticas y la lógica existentes

to demonstrate that a theorem must hold true all the time.

para demostrar que un teorema debe ser válido siempre.

One classic proof often attributed to Pythagoras himself

Una prueba clásica a menudo atribuida a Pitágoras mismo

uses a strategy called proof by rearrangement.

utiliza una estrategia llamada prueba por transposición.

Take four identical right triangles with side lengths a and b

Tome 4 triángulos rectángulos idénticos con longitudes laterales a y b

and hypotenuse length c.

y longitud de la hipotenusa c.

Arrange them so that their hypotenuses form a tilted square.

Organizarlos de modo que sus hipotenusas formen un cuadrado inclinado.

The area of that square is c².

El área de este cuadrado es c².

Now rearrange the triangles into two rectangles,

Ahora reorganice los triángulos en dos rectángulos,

leaving smaller squares on either side.

dejando cuadrados más pequeños a cada lado.

The areas of those squares are a² and b².

Las áreas de esos cuadrados son a² y b².

Here's the key.

Aquí está la clave.

The total area of the figure didn't change,

El área total de la figura no cambió

and the areas of the triangles didn't change.

y las áreas de los triángulos tampoco.

So the empty space in one, c²

Así que el espacio vacío en uno, c²

must be equal to the empty space in the other,

debe ser igual al espacio vacío en el otro,

a² + b².

a² + b².

Another proof comes from a fellow Greek mathematician Euclid

Otra prueba viene de su compañero matemático griego Euclides

and was also stumbled upon almost 2,000 years later

y también descubierta casi 2000 años más tarde

by twelve-year-old Einstein.

por Einstein de doce años.

This proof divides one right triangle into two others

Esta prueba divide un triángulo rectángulo en otros dos

and uses the principle that if the corresponding angles of two triangles

y utiliza el principio de que

si los ángulos correspondientes de dos triángulos son iguales,

are the same,

the ratio of their sides is the same, too.

la proporción de sus lados es la misma, también.

So for these three similar triangles,

Así que para estos 3 triángulos similares,

you can write these expressions for their sides.

uno puede escribir estas expresiones para sus lados.

Next, rearrange the terms.

A continuación, se reorganizan los términos.

And finally, add the two equations together and simplify to get

Y finalmente, se suman las dos ecuaciones y se simplifica para obtener

ab²+ac²=bc²,

ab² + ac² = bc²,

or a²+b²=c².

o a² + b² = c².

Here's one that uses tessellation,

Aquí hay una que utiliza la teselación,

a repeating geometric pattern for a more visual proof.

un patrón geométrico repetitivo para una prueba más visual.

Can you see how it works?

¿Puedes ver cómo funciona?

Pause the video if you'd like some time to think about it.

Detén el video un momento, si quieres, para pensarlo.

Here's the answer.

Aquí está la respuesta.

The dark gray square is a²

El cuadrado gris oscuro es a²

and the light gray one is b².

y el gris claro es b².

The one outlined in blue is c².

El delineado en azul es c².

Each blue outlined square contains the pieces of exactly one dark

Cada cuadrado contorneado azul contiene las piezas de exactamente una oscuridad

and one light gray square,

y un cuadrado gris claro,

proving the Pythagorean theorem again.

probando de nuevo el teorema de Pitágoras.

And if you'd really like to convince yourself,

Si realmente te gusta convencerte a ti mismo,

you could build a turntable with three square boxes of equal depth

podrías construir un plato giratorio con 3 cajas cuadradas de igual profundidad

connected to each other around a right triangle.

conectados entre sí alrededor de un triángulo rectángulo.

If you fill the largest square with water and spin the turntable,

Si llenas el cuadrado más grande con agua y giras el plato giratorio,

the water from the large square will perfectly fill the two smaller ones.

el agua del cuadrado grande llenará perfectamente los dos pequeños.

The Pythagorean theorem has more than 350 proofs, and counting,

El teorema de Pitágoras tiene más de 350 pruebas, y contando,

ranging from brilliant to obscure.

que van desde lo brillante a lo oscuro.

Can you add your own to the mix?

¿Puedes agregar la tuya propia a la mezcla?