How many ways are there to prove the Pythagorean theorem? - Betty Fei

Tłumaczenie: Julia Szczepańska Korekta: Ola Królikowska

What do Euclid,

Co mają wspólnego Euklides,

twelve-year-old Einstein,

dwudziestoletni Einstein

and American President James Garfield have in common?

i amerykański prezydent James Garfield?

They all came up with elegant proofs for the famous Pythagorean theorem,

Wszyscy wymyślili eleganckie dowody na słynne twierdzenie Pitagorasa,

the rule that says for a right triangle,

które mówi, że w trójkącie prostokątnym

the square of one side plus the square of the other side

suma kwadratów długości jednego i drugiego boku

is equal to the square of the hypotenuse.

równa się kwadratowi długości przekątnej.

In other words, a²+b²=c².

Innymi słowy: a² + b² = c².

This statement is one of the most fundamental rules of geometry,

To jedna z fundamentalnych zasad geometrii

and the basis for practical applications,

o praktycznym zastosowaniu,

like constructing stable buildings and triangulating GPS coordinates.

jak budowanie stabilnych budynków czy określanie współrzędnych GPS.

The theorem is named for Pythagoras,

Twierdzenie nosi imię Pitagorasa,

a Greek philosopher and mathematician in the 6th century B.C.,

greckiego filozofa i matematyka żyjącego w VI wieku p.n.e.,

but it was known more than a thousand years earlier.

ale było znane tysiące lat wcześniej.

A Babylonian tablet from around 1800 B.C. lists 15 sets of numbers

Babilońska tablica z około 1800 r. p.n.e. przedstawia piętnaście liczb,

that satisfy the theorem.

które spełniają to twierdzenie.

Some historians speculate that Ancient Egyptian surveyors

Według niektórych historyków mierniczy ze starożytnego Egiptu

used one such set of numbers, 3, 4, 5, to make square corners.

używali liczb 3, 4 i 5 do tworzenia kątów prostych.

The theory is that surveyors could stretch a knotted rope with twelve equal segments

Mieli oni rozciągać linę, podzieloną na 12 równych części,

to form a triangle with sides of length 3, 4 and 5.

żeby stworzyć trójkąt o bokach długości 3, 4 i 5.

According to the converse of the Pythagorean theorem,

Zgodnie z odwrotnością twierdzenia Pitagorasa

that has to make a right triangle,

tak można zbudować trójkąt prostokątny,

and, therefore, a square corner.

a więc i kąt prosty.

And the earliest known Indian mathematical texts

Według najwcześniejszych hinduskich tekstów matematycznych,

written between 800 and 600 B.C.

powstałych między 800 a 600 r. p.n.e.,

state that a rope stretched across the diagonal of a square

lina rozciągnięta wzdłuż przekątnej kwadratu

produces a square twice as large as the original one.

tworzy kolejny kwadrat dwa razy większy od pierwszego.

That relationship can be derived from the Pythagorean theorem.

Ten związek można uzyskać z twierdzenia Pitagorasa.

But how do we know that the theorem is true

Ale skąd wiadomo, że twierdzenie jest prawdziwe

for every right triangle on a flat surface,

dla każdego płaskiego trójkąta prostokątnego

not just the ones these mathematicians and surveyors knew about?

a nie tylko dla tych, które znali mierniczy?

Because we can prove it.

Bo możemy to udowodnić.

Proofs use existing mathematical rules and logic

Dowody wykorzystują istniejące matematyczne zasady i logikę,

to demonstrate that a theorem must hold true all the time.

żeby pokazać, że twierdzenie musi być zawsze prawdziwe.

One classic proof often attributed to Pythagoras himself

Jeden z klasycznych dowodów, często przypisywany samemu Pitagorasowi,

uses a strategy called proof by rearrangement.

używa strategii nazywanej przegrupowaniem.

Take four identical right triangles with side lengths a and b

Weźmy cztery identyczne trójkąty prostokątne o długościach boków: a i b

and hypotenuse length c.

oraz przekątnej równej c.

Arrange them so that their hypotenuses form a tilted square.

Ułóżmy je tak, żeby przekątne utworzyły przechylony kwadrat.

The area of that square is c².

Powierzchnia tego kwadratu to c².

Now rearrange the triangles into two rectangles,

Teraz ułóżmy trójkąty w dwa prostokąty,

leaving smaller squares on either side.

zostawiając mniejsze kwadraty po bokach.

The areas of those squares are a² and b².

Powierzchnie tych kwadratów są równe a² and b².

Here's the key.

Oto klucz.

The total area of the figure didn't change,

Całkowita powierzchnia figury pozostała bez zmian,

and the areas of the triangles didn't change.

tak jak pola trójkątów.

So the empty space in one, c²

Więc pusta powierzchnia pierwszej c²

must be equal to the empty space in the other,

musi być równa pustej powierzchni w drugim kwadracie,

a² + b².

a² + b².

Another proof comes from a fellow Greek mathematician Euclid

Kolejny dowód pochodzi od innego greckiego matematyka Euklidesa.

and was also stumbled upon almost 2,000 years later

Natrafił na niego prawie 2000 lat później

by twelve-year-old Einstein.

dwudziestoletni Einstein.

This proof divides one right triangle into two others

Ten dowód dzieli jeden trójkąt prostokątny na dwa inne

and uses the principle that if the corresponding angles of two triangles

i opiera się na zasadzie,

że jeśli odpowiadające sobie kąty dwóch trójkątów są takie same,

are the same,

the ratio of their sides is the same, too.

to taki sam jest też stosunek długości ich boków.

So for these three similar triangles,

Więc dla tych trzech podobnych trójkątów

you can write these expressions for their sides.

możemy zapisać stosunek między bokami.

Next, rearrange the terms.

Teraz przestawmy wyrażenia.

And finally, add the two equations together and simplify to get

Na koniec dodajmy dwa równania i uprośćmy je, żeby uzyskać

ab²+ac²=bc²,

ab² + ac² = bc²

or a²+b²=c².

albo a² + b² = c².

Here's one that uses tessellation,

A teraz użyjmy teselacji,

a repeating geometric pattern for a more visual proof.

powtarzalnego geometrycznego wzoru, który jest bardziej wizualnym dowodem.

Can you see how it works?

Rozumiecie, jak to działa?

Pause the video if you'd like some time to think about it.

Zatrzymajcie wideo, jeśli potrzebujecie czasu do namysłu.

Here's the answer.

Oto odpowiedź.

The dark gray square is a²

Ciemnoszary kwadrat to a²,

and the light gray one is b².

a jasnoszary - b².

The one outlined in blue is c².

Ten zakreślony na niebiesko to c².

Each blue outlined square contains the pieces of exactly one dark

Każdy zakreślony na niebiesko kwadrat zawiera fragmenty dokładnie jednego

and one light gray square,

ciemno- i jasnoszarego kwadratu,

proving the Pythagorean theorem again.

co potwierdza twierdzenie Pitagorasa.

And if you'd really like to convince yourself,

Jeśli naprawdę chcecie się przekonać,

you could build a turntable with three square boxes of equal depth

zbudujcie talerz obrotowy z trzema sześcianami tej samej głębokości

connected to each other around a right triangle.

połączonymi trójkątem prostokątnym.

If you fill the largest square with water and spin the turntable,

Po napełnieniu największego sześcianu wodą i zakręceniu talerzem

the water from the large square will perfectly fill the two smaller ones.

woda z dużego sześcianu idealnie zapełni dwa mniejsze.

The Pythagorean theorem has more than 350 proofs, and counting,

Na twierdzenie Pitagorasa jest ponad 350 dowodów i ciągle dochodzą kolejne,

ranging from brilliant to obscure.

od genialnych po najprostsze.

Can you add your own to the mix?

Czy dodacie nowy dowód?