How many ways are there to prove the Pythagorean theorem? - Betty Fei

Combien y a-t-il de façons de prouver le théorème de Pythagore ? - Betty Fei

Traducteur: Mariam Magdy Relecteur: Elisabeth Buffard

What do Euclid,

Qu'est-ce que Euclide,

twelve-year-old Einstein,

Einstein quand il avait 12 ans,

and American President James Garfield have in common?

et le président américain James Garfield ont en commun ?

They all came up with elegant proofs for the famous Pythagorean theorem,

Ils ont tous trouvé des preuves élégantes du célèbre théorème de Pythagore,

the rule that says for a right triangle,

la règle qui dit que pour un triangle rectangle,

the square of one side plus the square of the other side

le carré d'un côté plus le carré de l'autre côté

is equal to the square of the hypotenuse.

est égal au carré de l'hypoténuse.

In other words, a²+b²=c².

En d'autres termes, a² + b² = c².

This statement is one of the most fundamental rules of geometry,

Cette affirmation est l'une des règles les plus fondamentales de la géométrie

and the basis for practical applications,

et la base d'applications pratiques,

like constructing stable buildings and triangulating GPS coordinates.

comme la construction de bâtiments stables et la triangulation des coordonnées GPS.

The theorem is named for Pythagoras,

Le théorème porte le nom de Pythagore,

a Greek philosopher and mathematician in the 6th century B.C.,

un philosophe et mathématicien grec du 6ème siècle avant J.C.

but it was known more than a thousand years earlier.

mais il fut connu plus d'un millier d'années plus tôt.

A Babylonian tablet from around 1800 B.C. lists 15 sets of numbers

Une tablette babylonienne d'environ 1800 av. J.-C.

énumère 15 ensembles de nombres qui répondent au théorème.

that satisfy the theorem.

Certains historiens spéculent que les géomètres de l’Égypte ancienne

Some historians speculate that Ancient Egyptian surveyors

used one such set of numbers, 3, 4, 5, to make square corners.

utilisaient un ensemble similaire de chiffres, 3, 4, 5,

pour faire des coins carrés.

The theory is that surveyors could stretch a knotted rope with twelve equal segments

La théorie est que les arpenteurs pouvaient étirer

une corde à nœuds de 12 segments égaux

to form a triangle with sides of length 3, 4 and 5.

pour former un triangle avec des côtés de longueur 3, 4 et 5.

According to the converse of the Pythagorean theorem,

Selon l'inverse du théorème de Pythagore,

that has to make a right triangle,

cela doit faire un triangle rectangle

and, therefore, a square corner.

et donc un coin carré.

And the earliest known Indian mathematical texts

Et les textes mathématiques indiens les plus anciens connus

written between 800 and 600 B.C.

écrits entre 800 et 600 av. J.-C

state that a rope stretched across the diagonal of a square

affirme qu'une corde étirée sur la diagonale d'un carré

produces a square twice as large as the original one.

produit un carré deux fois plus grand que celui d'origine.

That relationship can be derived from the Pythagorean theorem.

Cette relation peut être dérivée du théorème de Pythagore.

But how do we know that the theorem is true

Mais comment savons-nous que le théorème est vrai

for every right triangle on a flat surface,

pour chaque triangle rectangle,

not just the ones these mathematicians and surveyors knew about?

pas seulement ceux que ces mathématiciens et arpenteurs connaissaient ?

Because we can prove it.

Parce qu'on peut le prouver : les preuves s'appuient

Proofs use existing mathematical rules and logic

sur les règles mathématiques existantes et la logique pour démontrer

to demonstrate that a theorem must hold true all the time.

qu'un théorème doit être vrai tout le temps.

One classic proof often attributed to Pythagoras himself

Une preuve classique souvent attribuée à Pythagore lui-même

uses a strategy called proof by rearrangement.

utilise une stratégie appelée la preuve par transposition.

Take four identical right triangles with side lengths a and b

Prenez quatre triangles droits identiques avec des longueurs latérales a et b

and hypotenuse length c.

et une longueur d'hypoténuse c.

Arrange them so that their hypotenuses form a tilted square.

Disposez-les pour que leurs hypoténuses forment un carré incliné.

The area of that square is c².

La surface de ce carré est c².

Now rearrange the triangles into two rectangles,

Maintenant, réarrangez les triangles en deux rectangles,

leaving smaller squares on either side.

laissant des carrés plus petits de chaque côté.

The areas of those squares are a² and b².

Les surfaces de ces carrés sont a² et b².

Here's the key.

Voici la clé.

The total area of the figure didn't change,

La surface totale de la figure n'a pas changé,

and the areas of the triangles didn't change.

et les surfaces des triangles n'ont pas changé.

So the empty space in one, c²

Donc, l'espace vide dans l'un, c²

must be equal to the empty space in the other,

doit être égal à l'espace vide dans l'autre,

a² + b².

a² + b².

Another proof comes from a fellow Greek mathematician Euclid

Une autre preuve vient d'un autre mathématicien grec, Euclide

and was also stumbled upon almost 2,000 years later

et a aussi été découverte fortuitement près de 2 000 ans plus tard

by twelve-year-old Einstein.

par Einstein, alors âgé de 12 ans.

This proof divides one right triangle into two others

Cette preuve divise un triangle droit en deux autres

and uses the principle that if the corresponding angles of two triangles

et utilise le principe stipulant

que si les angles correspondants de deux triangles sont identiques,

are the same,

the ratio of their sides is the same, too.

le ratio de leurs côtés est également le même.

So for these three similar triangles,

Donc, pour ces trois triangles semblables,

you can write these expressions for their sides.

vous pouvez écrire ces expressions pour leurs côtés.

Next, rearrange the terms.

Ensuite, réorganisez les termes.

And finally, add the two equations together and simplify to get

Enfin, ajoutez les équations, et de simplifier pour obtenir

ab²+ac²=bc²,

ab²+ac²=bc²,

or a²+b²=c².

ou a²+b²=c².

Here's one that uses tessellation,

En voici un qui utilise le pavage,

a repeating geometric pattern for a more visual proof.

un motif géométrique répétitif pour une preuve plus visuelle.

Can you see how it works?

Pouvez-vous voir comment ça marche ?

Pause the video if you'd like some time to think about it.

Mettez la vidéo en pause si vous souhaitez réfléchir à ce sujet.

Here's the answer.

Voici la réponse.

The dark gray square is a²

Le carré gris foncé est a²

and the light gray one is b².

et le gris clair est b².

The one outlined in blue is c².

Celui au contour bleu est c².

Each blue outlined square contains the pieces of exactly one dark

Chaque carré au contour bleu contient exactement les morceaux

d'un carré gris clair et un carré gris foncé

and one light gray square,

proving the Pythagorean theorem again.

prouvant à nouveau le théorème de Pythagore.

And if you'd really like to convince yourself,

Si vous souhaitez vraiment être convaincu,

you could build a turntable with three square boxes of equal depth

vous pourriez construire un plateau tournant

avec trois cases carrées de profondeur égale

connected to each other around a right triangle.

reliées entre elles autour d'un triangle rectangle.

If you fill the largest square with water and spin the turntable,

Si vous remplissez d'eau le carré le plus grand

et faites tourner le plateau, l'eau du grand carré

the water from the large square will perfectly fill the two smaller ones.

remplira parfaitement les deux plus petits.

The Pythagorean theorem has more than 350 proofs, and counting,

Le théorème de Pythagore a plus de 350 preuves, voire plus,

ranging from brilliant to obscure.

qui vont du brillant à l'obscur.

Can you add your own to the mix?

Pouvez-vous ajouter la vôtre ?