How many ways are there to prove the Pythagorean theorem? - Betty Fei

ピタゴラスの定理の証明方法 ― ベティ・フェイ

翻訳: Misaki Sato 校正: Hiroko Kawano

「理性だけが不滅である」 ピタゴラス

What do Euclid,

ユークリッドと

twelve-year-old Einstein,

12歳のアインシュタイン

and American President James Garfield have in common?

ジェームズ・ガーフィールド米大統領の 共通点とは？

They all came up with elegant proofs for the famous Pythagorean theorem,

エレガントな方法で ピタゴラスの定理の証明をしたことです

the rule that says for a right triangle,

これは直角三角形における

the square of one side plus the square of the other side

直角と隣り合う一辺の二乗と 他辺の二乗との和は

is equal to the square of the hypotenuse.

斜辺の二乗に等しいという規則で

In other words, a²+b²=c².

つまり A²+B²=C²ということです

This statement is one of the most fundamental rules of geometry,

これは幾何学における 最も基本的な規則で

and the basis for practical applications,

実務的な応用の基礎となるものです

like constructing stable buildings and triangulating GPS coordinates.

例えば 安定した建物の建造や GPS座標の三角測量などで用います

The theorem is named for Pythagoras,

定理の名前の由来となった ピタゴラスは

a Greek philosopher and mathematician in the 6th century B.C.,

紀元前６世紀の哲学者で 数学者でもあります

but it was known more than a thousand years earlier.

しかし この定理は その千年以上前から知られています

A Babylonian tablet from around 1800 B.C. lists 15 sets of numbers

紀元前1800年頃のバビロニアの 粘土板にはこの定理を満たす

15通りの数字の組み合わせが 記載されています

that satisfy the theorem.

Some historians speculate that Ancient Egyptian surveyors

歴史学者の中には 古代エジプトの測量士が

used one such set of numbers, 3, 4, 5, to make square corners.

３､４､５といった数字の組み合わせで 直角を作ったと推測する人もいます

The theory is that surveyors could stretch a knotted rope with twelve equal segments

測量士が12等分に結び目を付けた 縄を使って

to form a triangle with sides of length 3, 4 and 5.

辺の長さがそれぞれ ３､４､５の三角形を作れたと言うのです

According to the converse of the Pythagorean theorem,

ピタゴラスの定理の逆から

that has to make a right triangle,

この三角形は 直角三角形のはずです

and, therefore, a square corner.

よって 直角を得られるのです

And the earliest known Indian mathematical texts

紀元前800年から600年に書かれた

written between 800 and 600 B.C.

知られる限り最古のインドの数学書には

state that a rope stretched across the diagonal of a square

正方形の対角に渡した縄を １辺とする正方形を作ると

produces a square twice as large as the original one.

元の２倍の面積の 正方形ができるとしています

That relationship can be derived from the Pythagorean theorem.

この関係はピタゴラスの定理から 導き出せます

But how do we know that the theorem is true

数学者や測量士が知っていた ものだけでなく

for every right triangle on a flat surface,

平面上のどの三角形についても

not just the ones these mathematicians and surveyors knew about?

なぜこの定理が 真であるとわかるのでしょうか

Because we can prove it.

証明できるからです

Proofs use existing mathematical rules and logic

証明には数学の既存の定理や 論理を使って

to demonstrate that a theorem must hold true all the time.

ある命題が常に真であることを示します

One classic proof often attributed to Pythagoras himself

古典的な証明はピタゴラス自身による

uses a strategy called proof by rearrangement.

再構成という戦略を使います

Take four identical right triangles with side lengths a and b

辺の長さがaとbで 斜辺がcの

and hypotenuse length c.

合同な直角三角形４つを 考えてみましょう

Arrange them so that their hypotenuses form a tilted square.

これらの斜辺で 正方形を作るように並べます

The area of that square is c².

このエリアの面積はc²です

Now rearrange the triangles into two rectangles,

今度は三角形で ２つの長方形を作ると

leaving smaller squares on either side.

両側に小さな正方形ができますが

The areas of those squares are a² and b².

これらの面積はa² とb²です

Here's the key.

ここにカギがあります

The total area of the figure didn't change,

この図形の総面積は変化せず

and the areas of the triangles didn't change.

各三角形の面積も変化していません

So the empty space in one, c²

ですから このひとつめの空白部分は c²で

must be equal to the empty space in the other,

もう一方の空白部分である

a² + b².

a² + b²と等しいはずです

Another proof comes from a fellow Greek mathematician Euclid

別の証明は同じくギリシャの数学者の ユークリッドによるもので

and was also stumbled upon almost 2,000 years later

その約２千年後に

by twelve-year-old Einstein.

12歳のアインシュタインも 考えた証明です

This proof divides one right triangle into two others

この証明では直角三角形を 二分して

and uses the principle that if the corresponding angles of two triangles

２つの三角形の 対応する角が等しいときは

are the same,

２つの三角形の 対応する角が等しいときは

the ratio of their sides is the same, too.

その辺の比も等しいという 原理を用います

So for these three similar triangles,

この３つの三角形は相似で

you can write these expressions for their sides.

辺について これらの式で表すことができます

Next, rearrange the terms.

次に項を整理します

And finally, add the two equations together and simplify to get

最後に２つの等式を足して

ab²+ac²=bc²,

AB²+AC²=BC²

or a²+b²=c².

つまり A²+B²=C²です

Here's one that uses tessellation,

この証明では 平面充填

a repeating geometric pattern for a more visual proof.

つまり 幾何学パターンを繰り返して 視覚的に証明します

Can you see how it works?

仕組みはわかりますか？

Pause the video if you'd like some time to think about it.

ここでビデオを止めて 考えてみましょう

Here's the answer.

さて 回答です

The dark gray square is a²

ダークグレーの正方形はa²

and the light gray one is b².

ライトグレーのものはb²です

The one outlined in blue is c².

青い線で示したものはc²です

Each blue outlined square contains the pieces of exactly one dark

青い線の正方形は ダークグレーの正方形ひとつと

and one light gray square,

ライトグレーの正方形ひとつを 含んでいて

proving the Pythagorean theorem again.

ここでも ピタゴラスの定理を証明できます

And if you'd really like to convince yourself,

自分を納得させたいなら

you could build a turntable with three square boxes of equal depth

直角三角形の周りに ３つの正方形の箱をつけた

connected to each other around a right triangle.

ターンテーブルをつくり

If you fill the largest square with water and spin the turntable,

一番大きい正方形に水を入れて ターンテーブルを回すと

the water from the large square will perfectly fill the two smaller ones.

その水は残りの２つの正方形を 完全に満たすはずです

The Pythagorean theorem has more than 350 proofs, and counting,

ピタゴラスの定理の証明には すばらしいものから

ranging from brilliant to obscure.

曖昧なものまで 350以上の方法があります

Can you add your own to the mix?

オリジナルの方法を考えられますか？

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