How many ways are there to prove the Pythagorean theorem? - Betty Fei

Translator: Ly Nguyễn Reviewer: Hung Tran Phi

What do Euclid,

Ơ-clid,

twelve-year-old Einstein,

cậu nhóc Anh-xtanh mới 12 tuổi,

and American President James Garfield have in common?

và tổng thống Mỹ James Garfield đều có điểm gì chung?

They all came up with elegant proofs for the famous Pythagorean theorem,

Họ đều có những cách chứng minh siêu nhất cho định lý Py-ta-go nổi tiếng,

the rule that says for a right triangle,

nói về một hình tam giác vuông,

the square of one side plus the square of the other side

bình phương của một cạnh bên cộng với bình phương cạnh của cạnh bên khác

is equal to the square of the hypotenuse.

bằng bình phương của cạnh huyền.

In other words, a²+b²=c².

Hay nói cách khác, a²+b²=c².

This statement is one of the most fundamental rules of geometry,

Mệnh đề này là một trong những định luật cơ bản của hình học,

and the basis for practical applications,

và là nền tảng cho các ứng dụng thực tế,

like constructing stable buildings and triangulating GPS coordinates.

như việc xây dựng các tòa nhà vững chắc và lập lưới tam giác tọa độ GPS.

The theorem is named for Pythagoras,

Định lý được đặt tên theo Py-ta-go,

a Greek philosopher and mathematician in the 6th century B.C.,

nhà triết học và toán học người Hy Lạp sống ở thế kỷ thứ 6 trước Công Nguyên,

but it was known more than a thousand years earlier.

nhưng nó đã được biết tới từ hàng ngàn năm trước đó.

A Babylonian tablet from around 1800 B.C. lists 15 sets of numbers

Trên tấm bia của người Babylon từ khoảng 1800 TCN có ghi 15 cụm số

that satisfy the theorem.

thỏa mãn định lý này.

Some historians speculate that Ancient Egyptian surveyors

Một số sử gia suy đoán rằng trắc địa viên của Ai Cập cổ

used one such set of numbers, 3, 4, 5, to make square corners.

sử dụng các cụm số, 3, 4, 5 để tạo góc vuông.

The theory is that surveyors could stretch a knotted rope with twelve equal segments

Giả thiết là trắc đia viên dùng dây thừng buộc nút thành 12 đoạn bằng nhau

to form a triangle with sides of length 3, 4 and 5.

để tạo ra các cạnh của hình tam giác với độ dài 3, 4 và 5.

According to the converse of the Pythagorean theorem,

Dựa trên tính nghịch đảo của định lý Py-ta-go,

that has to make a right triangle,

nó tạo thành một hình tam giác vuông,

and, therefore, a square corner.

thì sẽ có một góc vuông.

And the earliest known Indian mathematical texts

Các đoạn văn bản toán học của Ấn Độ được biết tới sớm nhất

written between 800 and 600 B.C.

được viết vào khoảng 800 và 600 TCN.

state that a rope stretched across the diagonal of a square

khẳng định rằng đoạn dây căng qua đường chéo của hình vuông

produces a square twice as large as the original one.

sẽ tạo thành một hình vuông lớn gấp đôi hình vuông ban đầu.

That relationship can be derived from the Pythagorean theorem.

Hệ thức đó có thể bắt nguồn từ định lý Py-ta-go.

But how do we know that the theorem is true

Nhưng làm sao ta biết được định lý đó đúng

for every right triangle on a flat surface,

cho mọi hình tam giác vuông nằm trên một mặt phẳng,

not just the ones these mathematicians and surveyors knew about?

không chỉ những hình mà các nhà toán học và trắc địa viên biết tới?

Because we can prove it.

Bởi vì ta có thể chứng minh.

Proofs use existing mathematical rules and logic

Chứng minh bằng các định luật toán học và logic sẵn có

to demonstrate that a theorem must hold true all the time.

để giải thích định lý này đúng trong mọi trường hợp.

One classic proof often attributed to Pythagoras himself

Một cách chứng minh cổ điển được cho là của Py-ta-go

uses a strategy called proof by rearrangement.

sử dụng phương pháp chứng minh có tên là hoán vị.

Take four identical right triangles with side lengths a and b

Lấy bốn hình tam giác vuông giống nhau với độ dài cạnh bên là a và b

and hypotenuse length c.

và cạnh huyền là c.

Arrange them so that their hypotenuses form a tilted square.

Sắp xếp chúng để các cạnh huyền tạo thành một hình vuông

The area of that square is c².

Diện tích của hình vuông đó là c².

Now rearrange the triangles into two rectangles,

Và giờ thì xếp các tam giác đó để tạo thành hai hình chữ nhật,

leaving smaller squares on either side.

để thừa ra hình vuông nhỏ ở mỗi bên.

The areas of those squares are a² and b².

Diện tích những hình vuông đó là a² và b².

Here's the key.

Đây là mấu chốt.

The total area of the figure didn't change,

Diện tích tổng của hình không thay đổi,

and the areas of the triangles didn't change.

và diện tích các hình tam giác cũng vậy.

So the empty space in one, c²

Vậy nên phần trống ở hình đầu, c²

must be equal to the empty space in the other,

phải bằng với khoảng trống của hình còn lại,

a² + b².

a² + b².

Another proof comes from a fellow Greek mathematician Euclid

Một cách chứng minh từ một nhà toán học người Hy Lạp khác tên là Ơ-clid

and was also stumbled upon almost 2,000 years later

và tình cờ tìm ra sau gần 2000 năm

by twelve-year-old Einstein.

bởi cậu bé Anh-xtanh 12 tuổi.

This proof divides one right triangle into two others

Cách chứng minh này là chia đôi hình tam giác vuông thành hai phần

and uses the principle that if the corresponding angles of two triangles

và sử dụng nguyên lý nếu các góc tương ứng của hai hình tam giác

are the same,

giống nhau,

the ratio of their sides is the same, too.

thì tỉ lệ các cạnh cũng sẽ bằng nhau.

So for these three similar triangles,

Vậy với ba hình tam giác đồng dạng,

you can write these expressions for their sides.

bạn có thể dùng những biểu thức này cho các cạnh của chúng.

Next, rearrange the terms.

Tiếp theo, sắp xếp các vế.

And finally, add the two equations together and simplify to get

Và cuối cùng, cộng hai phương trình và rút gọn để có

ab²+ac²=bc²,

ab²+ac²=bc²,

or a²+b²=c².

hay a²+b²=c².

Here's one that uses tessellation,

Đây là một ứng dụng vào lát gạch hoa

a repeating geometric pattern for a more visual proof.

một cách lặp lại các họa tiết hình học để có cách minh chứng trực quan hơn.

Can you see how it works?

Bạn có thấy cơ chế của nó không?

Pause the video if you'd like some time to think about it.

Dừng video nếu bạn cần thời gian để suy nghĩ.

Here's the answer.

Đây là câu trả lời.

The dark gray square is a²

Hình vuông màu xám đậm là a²

and the light gray one is b².

còn cái màu xám nhạt là b².

The one outlined in blue is c².

Hình có viền xanh là c².

Each blue outlined square contains the pieces of exactly one dark

Mỗi đường viền vuông màu xanh bao gồm các mảnh của đúng một hình vuông tối màu

and one light gray square,

và một hình vuông sáng màu,

proving the Pythagorean theorem again.

lần nữa minh chứng cho định lý Py-ta-go.

And if you'd really like to convince yourself,

Và nếu bạn muốn tự thử,

you could build a turntable with three square boxes of equal depth

bạn có thể làm một chiếc bàn xoay với ba hình vuông có cùng độ sâu

connected to each other around a right triangle.

nối với nhau quanh một tam giác cân.

If you fill the largest square with water and spin the turntable,

Nếu bạn đổ đầy nước vào hình vuông lớn nhất và xoay,

the water from the large square will perfectly fill the two smaller ones.

nước từ hình lớn đó sẽ đổ vừa đúng đầy hai hình vuông nhỏ.

The Pythagorean theorem has more than 350 proofs, and counting,

Định lý Py-ta-go có hơn 350 cách chứng minh, và còn nữa,

ranging from brilliant to obscure.

từ nổi bật tới ít người biết tới.

Can you add your own to the mix?

Bạn có thể thêm cách của mình vào đó chứ?