How many ways are there to prove the Pythagorean theorem? - Betty Fei

Переводчик: Ola Królikowska Редактор: Natalia Ost

[Бессмертен один лишь разум, остальное смертно. — Пифагор]

What do Euclid,

Что общего у Евклида,

twelve-year-old Einstein,

двенадцатилетнего Эйнштейна

and American President James Garfield have in common?

и президента США Джеймса Гарфилда?

They all came up with elegant proofs for the famous Pythagorean theorem,

Все они придумали красивые способы доказать теорему Пифагора,

the rule that says for a right triangle,

согласно которой в прямоугольном треугольнике

the square of one side plus the square of the other side

сумма квадратов длин катетов

is equal to the square of the hypotenuse.

равна квадрату длины гипотенузы.

In other words, a²+b²=c².

Другими словами, a²+b²=c².

This statement is one of the most fundamental rules of geometry,

Данное утверждение — одно из основных правил в геометрии,

and the basis for practical applications,

имеющих практическое использование,

like constructing stable buildings and triangulating GPS coordinates.

как постройка устойчивых зданий и определение координат GPS.

The theorem is named for Pythagoras,

Теорема названа в честь Пифагора,

a Greek philosopher and mathematician in the 6th century B.C.,

древнегреческого философа и математика, жившего в VI веке до н. э.,

but it was known more than a thousand years earlier.

она была известна ещё за более тысячи лет до того.

A Babylonian tablet from around 1800 B.C. lists 15 sets of numbers

Вавилонская глиняная табличка, датированная 1800 г. до н. э.,

описывает 15 наборов чисел, удовлетворяющих условиям этой теоремы.

that satisfy the theorem.

Some historians speculate that Ancient Egyptian surveyors

Некоторые историки утверждают, что древнеегипетские геодезисты

used one such set of numbers, 3, 4, 5, to make square corners.

использовали набор цифр 3, 4 и 5 для создания квадратных углов.

The theory is that surveyors could stretch a knotted rope with twelve equal segments

Считается, что геодезисты использовали верёвку, разделённую на 12 равных частей,

to form a triangle with sides of length 3, 4 and 5.

из которой можно было сформировать треугольник со сторонами 3, 4 и 5.

According to the converse of the Pythagorean theorem,

Согласно теореме Пифагора,

that has to make a right triangle,

так должен построиться прямой треугольник

and, therefore, a square corner.

и в результате прямой угол.

And the earliest known Indian mathematical texts

Первые известные индийские записи,

written between 800 and 600 B.C.

датированные между 800 и 600 гг. до н. э.,

state that a rope stretched across the diagonal of a square

утверждают, что длина верёвки, растянутой по диагонали квадрата,

produces a square twice as large as the original one.

может послужить новой стороной для квадрата в два раза больше.

That relationship can be derived from the Pythagorean theorem.

Это соотношение можно получить из теоремы Пифагора.

But how do we know that the theorem is true

Но откуда нам знать, что эта теорема выполняется

for every right triangle on a flat surface,

для каждого прямоугольного треугольника на плоскости,

not just the ones these mathematicians and surveyors knew about?

не только тех, о которых знали математики и геодезисты?

Because we can prove it.

Это можно доказать.

Proofs use existing mathematical rules and logic

Доказательства основываются на математических законах и логике,

to demonstrate that a theorem must hold true all the time.

подтверждающих, что теорема истинна для любых чисел.

One classic proof often attributed to Pythagoras himself

Классическое доказательство теоремы, часто приписывающееся самому Пифагору,

uses a strategy called proof by rearrangement.

использует метод перестановки.

Take four identical right triangles with side lengths a and b

Возьмём четыре прямоугольных треугольника с катетами a и b

and hypotenuse length c.

и гипотенузой c.

Arrange them so that their hypotenuses form a tilted square.

Расположим их так, чтобы гипотенузы образовали квадрат.

The area of that square is c².

Площадь такого квадрата равна c².

Now rearrange the triangles into two rectangles,

Теперь сделаем из треугольников два прямоугольника,

leaving smaller squares on either side.

направив меньшие катеты друг к другу.

The areas of those squares are a² and b².

Площади этих квадратов равны a² и b².

Here's the key.

Вот ключ к решению.

The total area of the figure didn't change,

Общая площадь фигур не изменилась,

and the areas of the triangles didn't change.

как и площади треугольников.

So the empty space in one, c²

Значит, пустая область c²

must be equal to the empty space in the other,

равна пустой области в правом квадрате,

a² + b².

a² + b².

Another proof comes from a fellow Greek mathematician Euclid

Греческий математик Евклид является автором другого доказательства,

and was also stumbled upon almost 2,000 years later

на которое почти 2000 лет спустя

by twelve-year-old Einstein.

наткнулся 12-летний Эйнштейн.

This proof divides one right triangle into two others

Здесь один прямоугольный треугольник делится на два других.

and uses the principle that if the corresponding angles of two triangles

Используется принцип,

что если соответственные углы треугольников равны,

are the same,

the ratio of their sides is the same, too.

то соотношение их сторон также равно.

So for these three similar triangles,

Поэтому для трёх подобных треугольников

you can write these expressions for their sides.

можно написать соотношение их сторон.

Next, rearrange the terms.

Теперь переставим буквы местами.

And finally, add the two equations together and simplify to get

Наконец, сложим два уравнения и упростим, чтобы получить

ab²+ac²=bc²,

ab² + ac² = bc²,

or a²+b²=c².

или a² + b² = c².

Here's one that uses tessellation,

Это доказательство с помощью тесселяции,

a repeating geometric pattern for a more visual proof.

повтора геометрического рисунка для наглядного визуального доказательства.

Can you see how it works?

Видите, как это работает?

Pause the video if you'd like some time to think about it.

Приостановите видео, если хотите разобраться в этом сами.

Here's the answer.

Вот ответ.

The dark gray square is a²

Тёмно-серый квадрат — это a²,

and the light gray one is b².

светло-серый — это b².

The one outlined in blue is c².

Квадрат, выделенный синим цветом, — c².

Each blue outlined square contains the pieces of exactly one dark

Каждый синий квадрат содержит в себе кусочки ровно одного тёмно-

and one light gray square,

и одного светло-серого квадрата,

proving the Pythagorean theorem again.

в очередной раз доказывая теорему Пифагора.

And if you'd really like to convince yourself,

Если вы хотите убедить себя ещё более,

you could build a turntable with three square boxes of equal depth

соорудите вращающийся механизм

с тремя одинаково глубокими квадратными ёмкостями,

connected to each other around a right triangle.

соединёнными друг с другом вокруг прямого треугольника.

If you fill the largest square with water and spin the turntable,

Если заполнить самый большой квадрат водой и начать вращать механизм,

the water from the large square will perfectly fill the two smaller ones.

вода из большого квадрата идеально заполнит две меньшие квадратные ёмкости.

The Pythagorean theorem has more than 350 proofs, and counting,

Теорема Пифагора насчитывает более 350 доказательств,

ranging from brilliant to obscure.

от самых гениальных до простых.

Can you add your own to the mix?

Сможете ли вы добавить своё доказательство?