How many ways are there to prove the Pythagorean theorem? - Betty Fei

Quantas maneiras existem para comprovar o teorema de Pitágoras? Betty Fei

Tradutor: ADRIANA MENOLI Revisor: Maricene Crus

What do Euclid,

O que Euclides,

twelve-year-old Einstein,

Einstein aos 12 anos de idade,

and American President James Garfield have in common?

e o presidente americano James Garfield têm em comum?

They all came up with elegant proofs for the famous Pythagorean theorem,

Todos produziram comprovações requintadas para o famoso teorema de Pitágoras,

the rule that says for a right triangle,

a regra que diz que para um triângulo retângulo,

the square of one side plus the square of the other side

o quadrado de um dos lados mais o quadrado do outro lado

is equal to the square of the hypotenuse.

é igual ao quadrado da hipotenusa.

In other words, a²+b²=c².

Em outras palavras, a²+b²=c².

This statement is one of the most fundamental rules of geometry,

Essa afirmação é um dos princípios mais fundamentais da geometria,

and the basis for practical applications,

e a base para aplicações práticas,

like constructing stable buildings and triangulating GPS coordinates.

como a construção de prédios estáveis e a triangulação das coordenadas do GPS.

The theorem is named for Pythagoras,

O teorema tem esse nome devido à Pitágoras,

a Greek philosopher and mathematician in the 6th century B.C.,

um filósofo e matemático grego do século 6 a.C.,

but it was known more than a thousand years earlier.

mas foi empregado mais de mil anos antes.

A Babylonian tablet from around 1800 B.C. lists 15 sets of numbers

Uma tábua da Babilônia, de cerca de 1800 a.C., lista 15 grupos de números

that satisfy the theorem.

que obedecem ao teorema.

Some historians speculate that Ancient Egyptian surveyors

Alguns historiadores especulam que projetistas do antigo Egito

used one such set of numbers, 3, 4, 5, to make square corners.

usaram tal grupo de números, 3, 4, e 5 para fazer ângulos retos.

The theory is that surveyors could stretch a knotted rope with twelve equal segments

A teoria é que projetistas podiam esticar uma corda com nós com 12 segmentos iguais

to form a triangle with sides of length 3, 4 and 5.

para formar um triângulo com lados de comprimento 3, 4 e 5.

According to the converse of the Pythagorean theorem,

De acordo com a conversão do teorema de Pitágoras,

that has to make a right triangle,

isso gera um triângulo retângulo,

and, therefore, a square corner.

e consequentemente, um ângulo reto.

And the earliest known Indian mathematical texts

E os mais antigos textos matemáticos indianos conhecidos,

written between 800 and 600 B.C.

escritos entre 800 e 600 a.C.,

state that a rope stretched across the diagonal of a square

afirmam que uma corda esticada pela diagonal de um quadrado,

produces a square twice as large as the original one.

gera um quadrado duas vezes maior do que o original.

That relationship can be derived from the Pythagorean theorem.

Essa relação pode ser deduzida pelo teorema de Pitágoras.

But how do we know that the theorem is true

Mas como sabemos que o teorema é verdadeiro

for every right triangle on a flat surface,

para todo triângulo retângulo numa superfície plana,

not just the ones these mathematicians and surveyors knew about?

e não apenas aqueles que os matemáticos e projetistas conheciam?

Because we can prove it.

Porque nós podemos comprovar isso.

Proofs use existing mathematical rules and logic

Comprovações usam regras matemáticas existentes e lógica

to demonstrate that a theorem must hold true all the time.

para demonstrarem que o teorema é verdadeiro o tempo todo.

One classic proof often attributed to Pythagoras himself

Uma prova clássica frequentemente atribuída ao próprio Pitágoras

uses a strategy called proof by rearrangement.

usa uma estratégia chamada de comprovação por reagrupamento.

Take four identical right triangles with side lengths a and b

Considere quatro triângulos retângulos idênticos, com comprimento dos lados a e b

and hypotenuse length c.

e o comprimento da hipotenusa c.

Arrange them so that their hypotenuses form a tilted square.

Arrume-os de modo que suas hipotenusas formem um quadrado inclinado.

The area of that square is c².

A área desse quadrado é c².

Now rearrange the triangles into two rectangles,

Agora, reorganize esses triângulos dentro de dois retângulos,

leaving smaller squares on either side.

deixando quadrados menores ao lado deles.

The areas of those squares are a² and b².

As áreas desses quadrados são a² e b².

Here's the key.

Aqui está o segredo.

The total area of the figure didn't change,

A área total da figura não mudou,

and the areas of the triangles didn't change.

e as áreas dos triângulos não mudaram.

So the empty space in one, c²

Então, o espaço vazio em um, c²,

must be equal to the empty space in the other,

deve ser igual ao espaço vazio no outro,

a² + b².

a² + b².

Another proof comes from a fellow Greek mathematician Euclid

Outra confirmação vem do colega matemático grego Euclides

and was also stumbled upon almost 2,000 years later

e de Einstein aos 12 anos de idade,

que também se deparou com uma comprovação quase 2 mil anos depois.

by twelve-year-old Einstein.

This proof divides one right triangle into two others

Essa demonstração divide um triângulo retângulo em dois outros

and uses the principle that if the corresponding angles of two triangles

e usa o princípio de que se os ângulos correspondentes de dois triângulos

are the same,

são equivalentes,

the ratio of their sides is the same, too.

a proporção dos seus lados é a mesma também.

So for these three similar triangles,

Então, para esses três triângulos similares,

you can write these expressions for their sides.

você pode escrever essas expressões para os seus lados.

(Música)

Next, rearrange the terms.

Em seguida, reorganize os termos.

(Música)

And finally, add the two equations together and simplify to get

E, por fim, some as duas equações e simplifique-a para obter

ab²+ac²=bc²,

ab² + ac² = bc²,

or a²+b²=c².

ou a² + b² = c².

Here's one that uses tessellation,

Aqui está um modelo que usa um mosaico,

a repeating geometric pattern for a more visual proof.

um padrão geométrico repetitivo para uma comprovação mais visual.

Can you see how it works?

Você consegue ver como ele funciona?

Pause the video if you'd like some time to think about it.

Pause o vídeo se você quiser algum tempo para pensar sobre isso.

(Pausa)

Here's the answer.

Aqui está a resposta.

The dark gray square is a²

O quadrado cinza-escuro é a²

and the light gray one is b².

e o cinza-claro é b².

The one outlined in blue is c².

O quadrado contornado em azul é c².

Each blue outlined square contains the pieces of exactly one dark

Cada quadrado contornado em azul contém os pedaços de exatamente

and one light gray square,

um quadrado cinza-escuro e um cinza-claro,

proving the Pythagorean theorem again.

comprovando, novamente, o teorema de Pitágoras.

And if you'd really like to convince yourself,

E se você realmente quiser se certificar,

you could build a turntable with three square boxes of equal depth

construa uma mesa giratória com três caixas quadradas de igual profundidade,

connected to each other around a right triangle.

conectadas umas às outras por um triângulo retângulo.

If you fill the largest square with water and spin the turntable,

Se preencher o quadrado maior com água e girar a mesa giratória,

the water from the large square will perfectly fill the two smaller ones.

a água do quadrado maior irá encher perfeitamente os dois quadrados menores.

The Pythagorean theorem has more than 350 proofs, and counting,

O teorema de Pitágoras tem mais de 350 comprovações, e a contagem continua,

ranging from brilliant to obscure.

desde brilhantes a obscuras.

Can you add your own to the mix?

Você consegue contribuir com sua própria comprovação?