How many ways are there to prove the Pythagorean theorem? - Betty Fei

Tradutor: Margarida Ferreira Revisora: Mafalda Ferreira

What do Euclid,

O que é que Euclides,

twelve-year-old Einstein,

o jovem Einstein aos 12 anos

and American President James Garfield have in common?

e o presidente norte-americano James Garfield têm em comum?

They all came up with elegant proofs for the famous Pythagorean theorem,

Todos eles produziram elegantes provas para o famoso teorema de Pitágoras,

the rule that says for a right triangle,

a regra que diz que, num triângulo retângulo,

the square of one side plus the square of the other side

a soma dos quadrados dos dois lados

is equal to the square of the hypotenuse.

é igual ao quadrado da hipotenusa.

Por outras palavras,

In other words, a²+b²=c².

A ao quadrado mais B ao quadrado é igual a C ao quadrado.

This statement is one of the most fundamental rules of geometry,

Esta afirmação é uma das regras mais importantes da geometria

and the basis for practical applications,

e a base para aplicações práticas,

like constructing stable buildings and triangulating GPS coordinates.

como a construção de edifícios estáveis e a triangulação das coordenadas GPS.

The theorem is named for Pythagoras,

O teorema tem o nome de Pitágoras,

a Greek philosopher and mathematician in the 6th century B.C.,

um filósofo e matemático grego do século VI a.C.,

but it was known more than a thousand years earlier.

mas já era conhecido mais de mil anos antes.

A Babylonian tablet from around 1800 B.C. lists 15 sets of numbers

Uma tabuleta babilónica de 1800 a.C., lista 15 conjuntos de números

que satisfazem este teorema

that satisfy the theorem.

Some historians speculate that Ancient Egyptian surveyors

Alguns historiadores especulam que os agrimensores do Egito antigo

used one such set of numbers, 3, 4, 5, to make square corners.

usavam um conjunto semelhante de números — 3, 4, 5 —

para fazer cantos quadrados.

The theory is that surveyors could stretch a knotted rope with twelve equal segments

A teoria é que os inspetores esticavam uma corda

com nós com doze segmentos iguais

to form a triangle with sides of length 3, 4 and 5.

para formar um triângulo em que o comprimento dos lados era 3, 4 e 5.

According to the converse of the Pythagorean theorem,

Segundo o inverso do teorema de Pitágoras,

that has to make a right triangle,

faziam assim um triângulo retângulo

and, therefore, a square corner.

e, portanto, um canto quadrado.

And the earliest known Indian mathematical texts

Os textos matemáticos indianos mais antigos que se conhecem,

written between 800 and 600 B.C.

escritos entre 800 e 600 a.C.,

state that a rope stretched across the diagonal of a square

afirmam que uma corda esticada pela diagonal de um quadrado

produces a square twice as large as the original one.

produz um quadrado com o dobro do quadrado inicial.

That relationship can be derived from the Pythagorean theorem.

Esta relação pode ser derivada do teorema de Pitágoras.

But how do we know that the theorem is true

Mas como sabemos que este teorema é verdade

for every right triangle on a flat surface,

para todos os triângulos numa superfície plana,

not just the ones these mathematicians and surveyors knew about?

e não apenas para os que eram conhecidos desses matemáticos e agrimensores?

Because we can prove it.

Porque podemos prová-lo.

Proofs use existing mathematical rules and logic

As provas usam a lógica e regras matemáticas

to demonstrate that a theorem must hold true all the time.

para demonstrar que um teorema tem de ser sempre verdadeiro.

One classic proof often attributed to Pythagoras himself

Uma prova clássica atribuída muitas vezes a Pitágoras

uses a strategy called proof by rearrangement.

usa uma estratégia chamada prova por rearranjo.

Take four identical right triangles with side lengths a and b

Agarramos em quatro triângulo retângulos iguais

com os comprimentos dos lados a e b

and hypotenuse length c.

e o comprimento da hipotenusa c.

Arrange them so that their hypotenuses form a tilted square.

Arranjamo-los de modo que a hipotenusa forme um quadrado inclinado.

The area of that square is c².

A área desse quadrado é c².

Now rearrange the triangles into two rectangles,

Depois rearranjamos os triângulos em dois retângulos,

leaving smaller squares on either side.

deixando os quadrados mais pequenos de cada lado.

The areas of those squares are a² and b².

As áreas desses quadrados são a² e b².

Here's the key.

A chave é esta.

The total area of the figure didn't change,

A área total da figura não mudou

and the areas of the triangles didn't change.

e as áreas dos triângulos não mudaram.

So the empty space in one, c²

Portanto, o espaço vazio num deles, c²

must be equal to the empty space in the other,

tem de ser igual ao espaço vazio no outro.

a² + b².

a² + b².

Another proof comes from a fellow Greek mathematician Euclid

Outra prova provém de um matemático grego, chamado Euclides

and was also stumbled upon almost 2,000 years later

e também foi descoberta fortuitamente quase 2000 anos depois

by twelve-year-old Einstein.

por um jovem Einstein, de 12 anos.

This proof divides one right triangle into two others

Esta prova divide um triângulo retângulo em dois triângulos

and uses the principle that if the corresponding angles of two triangles

e usa o princípio de que,

se os ângulos correspondentes de dois triângulos são iguais,

are the same,

the ratio of their sides is the same, too.

a proporção dos seus lados também é igual.

So for these three similar triangles,

Para estes três triângulos equivalentes

you can write these expressions for their sides.

podemos escrever estas expressões para os seus lados:

[AC / CD = BC

[& AB /BD = BC / AB]

Next, rearrange the terms.

A seguir, rearranjamos os termos

And finally, add the two equations together and simplify to get

e, por fim, somamos as duas equações e simplificamos

ab²+ac²=bc²,

e obtemos AB²+AC²=bc²,

igual a BC²

or a²+b²=c².

ou A²+B²=BC².

Here's one that uses tessellation,

Esta prova usa a tesselação,

a repeating geometric pattern for a more visual proof.

um padrão geométrico repetitivo para uma prova mais visual.

Can you see how it works?

Estão a ver como funciona?

Pause the video if you'd like some time to think about it.

Suspendam o vídeo, se quiserem pensar um pouco nisto.

Here's the answer.

A resposta é esta:

The dark gray square is a²

O quadrado cinzento escuro é a²

and the light gray one is b².

e o cinzento claro é b².

The one outlined in blue is c².

O que está contornado a azul é c².

Each blue outlined square contains the pieces of exactly one dark

Cada quadrado contornado a azul contém as peças exatas

and one light gray square,

de um quadrado cinzento escuro e de um cinzento claro,

proving the Pythagorean theorem again.

provando o teorema de Pitágoras mais uma vez.

And if you'd really like to convince yourself,

Se vocês gostam de ficarem convencidos,

you could build a turntable with three square boxes of equal depth

podem construir uma plataforma giratória

com três caixas quadradas de igual profundidade,

connected to each other around a right triangle.

ligadas umas às outras em volta de um triângulo retângulo.

If you fill the largest square with water and spin the turntable,

Se encherem o quadrado maior com água e rodarem a plataforma,

the water from the large square will perfectly fill the two smaller ones.

a água do quadrado maior encherá perfeitamente

os dois quadrados mais pequenos.

The Pythagorean theorem has more than 350 proofs, and counting,

O teorema de Pitágoras tem mais de 350 provas,

ranging from brilliant to obscure.

que vão desde brilhantes a obscuras.

Can you add your own to the mix?

Querem juntar a vossa a esta multidão?