How many ways are there to prove the Pythagorean theorem? - Betty Fei

چند روش برای اثبات قضیه فیثاغورث وجود دارد؟ - بتی فای

Translator: sadegh zabihi Reviewer: Leila Ataei

What do Euclid,

چه چیزی میان اقلیدس،

twelve-year-old Einstein,

انیشتین ۱۲ ساله،

and American President James Garfield have in common?

و رئیس جمهور آمریکا جیمز گارفیلد مشترک است؟

They all came up with elegant proofs for the famous Pythagorean theorem,

همه آنها اثبات زیبایی برای قضیه معروف فیثاغورث ارائه کردند،

the rule that says for a right triangle,

قانونی که می‌گوید در یک مثلث قائم الزاویه،

the square of one side plus the square of the other side

مربع یکی از اضلاع قائمه به اضافه مربع ضلع دیگر قائمه

is equal to the square of the hypotenuse.

برابر است با مربع وتر.

In other words, a²+b²=c².

به بیان دیگر، a۲+b۲=c۲.

This statement is one of the most fundamental rules of geometry,

این قضیه یکی از اساسی‌ترین قوانین هندسه،

and the basis for practical applications,

و پایه کاربردهای عملی بسیاری است،

like constructing stable buildings and triangulating GPS coordinates.

مثل ساختن بناهای پایدار و سه زاویه کردن مختصات GPS.

The theorem is named for Pythagoras,

قضیه به نام فیثاغورث ثبت شده است،

a Greek philosopher and mathematician in the 6th century B.C.,

فیلسوف و ریاضی‌دان یونانی قرن ۶ام پیش از میلاد،

but it was known more than a thousand years earlier.

اما بیش از هزار سال پیش از آن هم شناخته شده بود.

A Babylonian tablet from around 1800 B.C. lists 15 sets of numbers

یک جدول بابلی مربوط به ۱٫۸۰۰ سال پیش از میلاد حاوی ۱۵ سری عدد است

that satisfy the theorem.

که در قضیه صدق می‌کنند.

Some historians speculate that Ancient Egyptian surveyors

برخی تاریخ‌دانان بر این باورند که نقشه برداران مصر باستان

used one such set of numbers, 3, 4, 5, to make square corners.

از سری اعداد فیثاغورثی ۳، ۴، ۵، برای ساختن زاویه راست استفاده می‌کردند.

The theory is that surveyors could stretch a knotted rope with twelve equal segments

نظریه این است که نقشه برداران طنابی را با گره زدن به دوازده بخش مساوی تقسیم می‌کردند

to form a triangle with sides of length 3, 4 and 5.

تا مثلثی با اضلاع ۳، ۴ و ۵ بسازند.

According to the converse of the Pythagorean theorem,

با توجه به عکس قضیه فیثاغورث،

that has to make a right triangle,

این مثلث، مثلث قائم الزاویه خواهد بود،

and, therefore, a square corner.

و بنابراین، یک زاویه قائمه خواهد داشت.

And the earliest known Indian mathematical texts

و در اولین دست‌نوشته‌های شناخته‌شده ریاضی‌دانان هندی

written between 800 and 600 B.C.

که بین ۸۰۰ تا ۶۰۰ سال پیش از میلاد نوشته شده است

state that a rope stretched across the diagonal of a square

طنابی که به اندازه قطر یک مربع تقسیم شده است

produces a square twice as large as the original one.

مربعی دوبرابر مربع اصلی می‌سازد.

That relationship can be derived from the Pythagorean theorem.

این رابطه هم می‌تواند از قضیه فیثاغورث نتیجه گرفته شود.

But how do we know that the theorem is true

اما از کجا می‌دانیم که این قضیه

for every right triangle on a flat surface,

برای هر مثلث قائم الزاویه در صفحه صدق می‌کند،

not just the ones these mathematicians and surveyors knew about?

و تنها مربوط به آنهایی که این ریاضی‌دانان و نقشه‌برداران می‌شناختند نیست؟

Because we can prove it.

چون می‌توان آن را اثبات کرد.

Proofs use existing mathematical rules and logic

اثبات یک قضیه از قوانین موجود ریاضی و منطق استفاده می‌کند

to demonstrate that a theorem must hold true all the time.

تا نشان دهد که قضیه همواره صادق است.

One classic proof often attributed to Pythagoras himself

یک اثبات قدیمی که معمولاً به خود فیثاغورث نسبت داده می‌شود

uses a strategy called proof by rearrangement.

از روش اثبات به کمک بازچینی استفاده می‌کند.

Take four identical right triangles with side lengths a and b

چهار مثلث قائم الزاویه یکسان با اضلاع a و b

and hypotenuse length c.

و وتر c را در نظر بگیرید.

Arrange them so that their hypotenuses form a tilted square.

آنها را طوری کنار هم قرار دهید که وترها مربع کجی را تشکیل دهند.

The area of that square is c².

مساحت این مربع c۲ خواهد بود.

Now rearrange the triangles into two rectangles,

حال مثلث‌ها را طوری کنار هم بگذارید که دو مستطیل تشکیل دهند،

leaving smaller squares on either side.

و در هر طرف دو مربع کوچک باقی بگذارند.

The areas of those squares are a² and b².

مساحت آن مربع‌ها a۲ و b۲ خواهد بود.

Here's the key.

نکته اینجاست.

The total area of the figure didn't change,

مساحت کل شکل تغییری نکرد،

and the areas of the triangles didn't change.

و مساحت مثلث‌ها هم ثابت ماند.

So the empty space in one, c²

پس بخش خالی شکل اول، c۲

must be equal to the empty space in the other,

باید با بخش خالی مانده شکل دوم برابر باشد،

a² + b².

a۲+b۲.

Another proof comes from a fellow Greek mathematician Euclid

اثبات دیگری را ریاضی‌دان یونانی اقلیدس ارائه کرد

and was also stumbled upon almost 2,000 years later

که اتفاقاً ۲۰۰۰ سال بعد هم

by twelve-year-old Einstein.

توسط انیشتین ۱۲ ساله مطرح شد.

This proof divides one right triangle into two others

در این اثبات یک مثلث قائم الزاویه را به دو مثلث قائم الزاویه دیگر تقسیم می‌شوند

and uses the principle that if the corresponding angles of two triangles

و از این اصل استفاده می‌شود که اگر زوایای متناظر دو مثلث

are the same,

با هم برابر باشند،

the ratio of their sides is the same, too.

نسبت اضلاع آنها هم با هم برابر است.

So for these three similar triangles,

پس در مورد این سه مثلث مشابه،

you can write these expressions for their sides.

می‌توان این عبارات را برای اضلاع آنها نوشت.

Next, rearrange the terms.

بعد، عبارات را بازچینی کنید.

And finally, add the two equations together and simplify to get

و در نهایت، دو عبارت را با هم جمع کنید و پس از ساده سازی عبارت

ab²+ac²=bc²,

ab۲+ac۲=bc۲،

or a²+b²=c².

یا a۲+b۲=c۲ به دست می‌آید.

Here's one that uses tessellation,

این یکی هم از موزاییک‌کاری استفاده می‌کند،

a repeating geometric pattern for a more visual proof.

یک الگوی هندسی تکراری برای اثبات بصری.

Can you see how it works?

می‌توانید ببینید چطوری است؟

Pause the video if you'd like some time to think about it.

اگر می‌خواهید بیشتر فکر کنید ویدیو را متوقف کنید.

Here's the answer.

و حالا جواب.

The dark gray square is a²

مربع خاکستری تیره a۲

and the light gray one is b².

و مربع خاکستری روشن b۲ هستند.

The one outlined in blue is c².

آن که از خط بیرون زده هم c۲ است.

Each blue outlined square contains the pieces of exactly one dark

هر مربع آبی که از خط بیرون زده حاوی بخش‌هایی از دقیقا یک مربع خاکستری تیره

and one light gray square,

و یک مربع خاکستری روشن است،

proving the Pythagorean theorem again.

که اثبات دیگری برای قضیه فیثاغورث است.

And if you'd really like to convince yourself,

و اگر بخواهید خودتان را کاملاً قانع کنید،

you could build a turntable with three square boxes of equal depth

می‌توانید میزی گردان با سه جعبه مربعی با عمق‌های یکسان درست کنید

connected to each other around a right triangle.

که حول یک زاویه قائمه به هم وصل شده‌اند.

If you fill the largest square with water and spin the turntable,

اگر بزرگترین مربع را با آب پر کرده میز را بچرخانید،

the water from the large square will perfectly fill the two smaller ones.

آب مربع بزرگ دو مربع کوچک را کملاً پر می‌کند.

The Pythagorean theorem has more than 350 proofs, and counting,

قضیه فیثاغورث به ۳۵۰ روش مختلف،

ranging from brilliant to obscure.

از روش‌های هوشمندانه گرفته تا گنگ و نامفهوم، اثبات شده است.

Can you add your own to the mix?

می‌توانید اثبات خودتان را به آنها اضافه کنید؟