How many ways are there to prove the Pythagorean theorem? - Betty Fei

번역: JiWon Yoon 검토: Jihyeon J. Kim

What do Euclid,

유클리드,

twelve-year-old Einstein,

스무살의 아인슈타인,

and American President James Garfield have in common?

미국 대통령 제임스 가필드의 공통점은 무엇일까요?

They all came up with elegant proofs for the famous Pythagorean theorem,

그들은 모두 피타고라스 공식의 증명을 고안해내었습니다.

the rule that says for a right triangle,

그 법칙은 직각삼각형에서,

the square of one side plus the square of the other side

한 쪽변과 다른쪽 변의 제곱의 합이

is equal to the square of the hypotenuse.

빗변의 제곱의 합과 같다는 공식입니다.

In other words, a²+b²=c².

말하자면, a²+b²=c² 입니다.

This statement is one of the most fundamental rules of geometry,

이 공식은 기하학의 가장 기본이 되는 공식이고,

and the basis for practical applications,

실용적인 응용의 기본이 됩니다.

like constructing stable buildings and triangulating GPS coordinates.

견고한 건물의 건설과 GPS의 좌표 설정처럼 말입니다.

The theorem is named for Pythagoras,

이 공식의 이름은 기원전 6세기의 그리스 철학자와 수학자인

a Greek philosopher and mathematician in the 6th century B.C.,

피타고라스의 이름을 따서 지었습니다.

but it was known more than a thousand years earlier.

그러나 이것은 천년 정도 먼저 알려져 있었습니다.

A Babylonian tablet from around 1800 B.C. lists 15 sets of numbers

기원전 1800년정도의 바빌로니아 서판에서

that satisfy the theorem.

이 공식을 만족시키는 15세트의 숫자가 발견되었습니다.

Some historians speculate that Ancient Egyptian surveyors

몇 역사학자들은 고대 이집트 측량사들이

used one such set of numbers, 3, 4, 5, to make square corners.

3,4,5 등의 숫자를 직각을 만들기 위해 사용했다고 생각합니다.

The theory is that surveyors could stretch a knotted rope with twelve equal segments

이론상, 사람들은 12개의 동일한 부분으로 나누어진 줄을

to form a triangle with sides of length 3, 4 and 5.

각 변의 길이가 3, 4, 5가 되도록 삼각형을 만들었다고 생각합니다.

According to the converse of the Pythagorean theorem,

피타고라스 공식의 역을 보면,

that has to make a right triangle,

이 숫자들은 직각삼각형을 만들어야 되고,

and, therefore, a square corner.

결론적으로 직각을 만들게 됩니다.

And the earliest known Indian mathematical texts

또한 기원전 800년에서 600년 사이에 쓰여진

written between 800 and 600 B.C.

최초의 인도 수학서적에 의하면

state that a rope stretched across the diagonal of a square

사각형의 대각선에 줄을 연결한다면

produces a square twice as large as the original one.

기존의 사각형의 두 배의 넓이를 가진 사각형이 만들어집니다.

That relationship can be derived from the Pythagorean theorem.

그 관계는 피타고라스 공식으로부터 증명이 됩니다.

But how do we know that the theorem is true

그러나 우리는 어떻게 모든 평면에서의

for every right triangle on a flat surface,

모든 직각삼각형에 적용이 되는지 어떻게 알까요?

not just the ones these mathematicians and surveyors knew about?

수학자들이 알아낸 삼각형 말고도 말입니다.

Because we can prove it.

증명할 수 있기 때문이죠.

Proofs use existing mathematical rules and logic

공식이 언제나 성립한다는 것을 수학적인 논리와

to demonstrate that a theorem must hold true all the time.

증거에 의해 증명이 되는 것입니다.

One classic proof often attributed to Pythagoras himself

가장 일반적인 증명은 피타고라스 자신에게서

uses a strategy called proof by rearrangement.

삼각형을 재배열하면서 이루어집니다.

Take four identical right triangles with side lengths a and b

직각을 낀 두변이 a,b이고 빗 변이 c인 동일한 직각삼각형들이

and hypotenuse length c.

4개가 있다고 가정해봅시다.

Arrange them so that their hypotenuses form a tilted square.

이 삼각형들을 빗변들이 기울어진 사각형을 이루도록 배열해봅시다.

The area of that square is c².

이 사각형의 넓이는 c²입니다.

Now rearrange the triangles into two rectangles,

이제 두 개의 직각삼각형을 배열해서

leaving smaller squares on either side.

양 쪽에 사각형을 만들도록 배치합시다.

The areas of those squares are a² and b².

이 사각형의 넓이는 a²과 b² 입니다.

Here's the key.

여기 해법이 있습니다.

The total area of the figure didn't change,

전체 넓이는 변하지 않았고,

and the areas of the triangles didn't change.

삼각형들의 넓이 또한 변하지 않았습니다.

So the empty space in one, c²

따라서 넓이가 c²인 빈공간은

must be equal to the empty space in the other,

다른 두 개의 빈공간의 넓이의 합과 같아야 합니다.

a² + b².

a² + b² 으로 말입니다.

Another proof comes from a fellow Greek mathematician Euclid

다른 증명은 동시대의 그리스 수학자인 유클리드가 했고

and was also stumbled upon almost 2,000 years later

이 증명은 거의 2000년 이후

by twelve-year-old Einstein.

스무 살의 아인슈타인이 우연히 발견했습니다.

This proof divides one right triangle into two others

이 증명은 직각삼각형 하나를 두 개로 분리합니다.

and uses the principle that if the corresponding angles of two triangles

그리고 이 두 개의 대응되는 각은

are the same,

같다는 이론을 사용합니다.

the ratio of their sides is the same, too.

대응되는 변들의 비율도 같습니다.

So for these three similar triangles,

따라서 이 비슷한 삼각형들에 대해서는

you can write these expressions for their sides.

그들의 변들을 표현할 수 있습니다.

Next, rearrange the terms.

그 다음, 이들을 재배열합니다.

And finally, add the two equations together and simplify to get

이 두 공식들을 더한 후 정리하면

ab²+ac²=bc²,

ab²+ac²=bc², 또는

or a²+b²=c².

a²+b²=c²라는 공식을 얻게 됩니다.

Here's one that uses tessellation,

여기 테셀레이션을 이용한 풀이도 있습니다.

a repeating geometric pattern for a more visual proof.

기하학적인 패턴을 통해 시각적으로 증명하는 것이죠.

Can you see how it works?

이해가 가시나요?

Pause the video if you'd like some time to think about it.

생각해봐야 할 것 같으면 멈춘 후 생각해 보세요.

Here's the answer.

여기 답이 있습니다.

The dark gray square is a²

짙은 회색 네모는 a²이고

and the light gray one is b².

옅은 회색 네모가 b²입니다.

The one outlined in blue is c².

파란색으로 테두리 쳐진 네모는 c² 입니다.

Each blue outlined square contains the pieces of exactly one dark

모든 파란색으로 테두리 쳐진 네모는 정확히 하나의 짙은 회색 네모와

and one light gray square,

옅은 회색 네모를 포함하고,

proving the Pythagorean theorem again.

이로써 피타고라스 공식이 증명됩니다.

And if you'd really like to convince yourself,

스스로 확인하고 싶다면,

you could build a turntable with three square boxes of equal depth

여러분은 세 개의 일정한 깊이의 구멍이 있고,

connected to each other around a right triangle.

직각삼각형 주위에 연결되어 있는 턴테이블을 만드세요.

If you fill the largest square with water and spin the turntable,

가장 큰 구멍에 물을 가득 채우고 턴테이블을 돌리면,

the water from the large square will perfectly fill the two smaller ones.

큰 구멍에서의 물이 나머지 두 구멍을 정확히 채우는 것을 알 수 있습니다.

The Pythagorean theorem has more than 350 proofs, and counting,

피타고라스 공식은 350가지가 넘는 증명이 있고,

ranging from brilliant to obscure.

이들은 추상적인 것부터 명확한 것까지 있습니다.

Can you add your own to the mix?

여러분도 증명해 보는 건 어떨까요?