How to organize, add and multiply matrices - Bill Shillito

Translator: Andrea McDonough Reviewer: Bedirhan Cinar

תרגום: Shlomo Adam עריכה: Sigal Tifferet

By now, I'm sure you know

אני בטוח שעכשיו אתם כבר יודעים

that in just about anything you do in life,

שכמעט בכל דבר שאתם עושים בחיים,

you need numbers.

אתם זקוקים למספרים.

In particular, though,

אבל יש במיוחד

some fields don't just need a few numbers,

תחומים מסוימים שבהם לא צריך רק כמה מספרים,

they need lots of them.

אלא המון מספרים.

How do you keep track of all those numbers?

איך עוקבים אחרי כל המספרים האלה?

Well, mathematicians dating back

מתמטיקאים

as early as ancient China

עוד מימי סין העתיקה

came up with a way to represent

המציאו דרך לייצג

arrays of many numbers at once.

מערכים של מספרים רבים בבת-אחת.

Nowadays we call such an array a "matrix,"

היום אנו קוראים למערך כזה "מטריצה",

and many of them hanging out together, "matrices".

וכשיש רבות כמוה - "מטריצות".

Matrices are everywhere.

המטריצות נמצאות בכל מקום,

They are all around us,

ועל כל סביבותינו,

even now in this very room.

אפילו ממש כאן, בחדר.

Sorry, let's get back on track.

סליחה, בואו נחזור לנושא.

Matrices really are everywhere, though.

אבל המטריצות נמצאות באמת בכל מקום.

They are used in business,

משתמשים בהן בעסקים,

economics,

בכלכלה,

cryptography,

physics,

בהצפנה,

בפיזיקה,

electronics,

באלקטרוניקה

and computer graphics.

ובגרפיקה ממוחשבת.

One reason matrices are so cool

אחת הסיבות מדוע המטריצות הן כה מגניבות

is that we can pack so much information into them

היא משום שאנו יכולים למלא אותן בהמון מידע,

and then turn a huge series of different problems

ואחר להפוך סדרה ענקית של בעיות שונות

into one single problem.

לבעיה אחת ויחידה.

So, to use matrices, we need to learn how they work.

אז כדי להשתמש במטריצות עלינו לדעת איך הן פועלות.

It turns out, you can treat matrices

מסתבר שאפשר להתייחס למטריצות

just like regular numbers.

כמו למספרים רגילים.

You can add them,

אפשר לחבר אותן,

subtract them,

להפחית אותן

even multiply them.

ואפילו להכפיל אותן.

You can't divide them,

אי-אפשר לחלק אותן,

but that's a rabbit hole of its own.

אבל זו תעלומה נפרדת.

Adding matrices is pretty simple.

חיבור מטריצות הוא עניין פשוט.

All you have to do is add the corresponding entries

צריך רק לחבר את הרשומות המקבילות

in the order they come.

בסדר בו הן מופיעות.

So the first entries get added together,

וכך, מחברים את הרשומות הראשונות,

the second entries,

את הרשומות השניות,

the third,

all the way down.

את השלישיות,

וכן הלאה, עד הסוף.

Of course, your matrices have to be the same size,

כמובן שהמטריצות שלכם צריכות להיות באותו גודל,

but that's pretty intuitive anyway.

אבל זה די מובן מאליו ממילא.

You can also multiply the whole matrix

אפשר גם להכפיל את כל המטריצה

by a number, called a scalar.

במספר הקרוי "סקלרי".

Just multiply every entry by that number.

פשוט הכפילו כל רשומה במספר הזה.

But wait, there's more!

אבל זה עוד לא הכל!

You can actually multiply one matrix by another matrix.

אפשר ממש להכפיל מטריצה אחת באחרת.

It's not like adding them, though,

אבל זה לא כמו לחבר ביניהן,

where you do it entry by entry.

כמו בחיבור של רשומה אחר רשומה.

It's more unique

זה יותר מיוחד

and pretty cool once you get the hang of it.

ודי מגניב, אחרי שתופסים את העניין.

Here's how it works.

כך זה עובד:

Let's say you have two matrices.

נניח שיש לכם שתי מטריצות.

Let's make them both two by two,

נניח שהן שתיים על שתיים,

meaning two rows by two columns.

כלומר שתי שורות ושני טורים.

Write the first matrix to the left

כיתבו את המטריצה הראשונה משמאל

and the second matrix goes next to it

ואת המטריצה השניה בסמוך לה

and translated up a bit,

כשהיא קצת מוגבהת,

kind of like we are making a table.

כאילו אנו יוצרים טבלה.

The product we get when we multiply the matrices together

מה שמתקבל כשאנו מכפילים את המטריצות

will go right between them.

ייכנס ביניהן.

We'll also draw some gridlines to help us along.

הבה נמתח כמה קווי טבלה כדי להיעזר בהם.

Now, look at the first row of the first matrix

כעת הביטו בשורה הראשונה של המטריצה הראשונה

and the first column of the second matrix.

ובטור הראשון של המטריצה השניה.

See how there's two numbers in each?

רואים שיש בכל אחד ממקומות אלה שני מספרים?

Multiply the first number in the row

הכפילו את המספר הראשון שבשורה

by the first number in the column:

עם המספר הראשון שבטור:

1 times 2 is 2.

1 כפול 2 שווה 2.

Now do the next ones:

כעת הכפילו את הבאים בתור:

3 times 3 is 9.

3 כפול 3 שווה 9.

Now add them up:

כעת חברו אותם:

2 plus 9 is 11.

2 ועוד 9 שווה 11.

Let's put that number in the top-left position

נציב את המספר הזה במקום השמאלי העליון

so that it matches up with the rows and columns

כדי שיתאים מבחינת השורות והטורים

we used to get it.

בהן השתמשנו כדי לקבלו.

See how that works?

רואים איך זה עובד?

You can do the same thing to get the other entries.

אתם יכולים לעשות כך כדי לקבל את יתר הרשומות.

-4 plus 0 is -4.

4- ועוד 0 הם 4-.

4 plus -3 is 1.

4 ועוד 3- שווה 1.

-8 plus 0 is -8.

8- ועוד 0 שווה 8-.

So, here's your answer.

אז זהו הפתרון.

Not all that bad, is it?

בכלל לא רע, נכון?

There's one catch, though.

יש רק מילכוד אחד.

Just like with addition,

ממש כמו החיבור עצמו,

your matrices have to be the right size.

גם המטריצה צריכה להיות בגודל הנכון.

Look at these two matrices.

הביטו בשתי המטריצות האלה.

2 times 8 is 16.

2 כפול 8 שווה 16.

3 times 4 is 12.

3 כפול 4 שווה 12.

3 times

3 כפול

wait a minute,

רגע,

there are no more rows in the second matrix.

במטריצה השניה אין יותר שורות.

We ran out of room.

נגמר לנו המקום.

So, these matrices can't be multiplied.

לכן המטריצות האלה לא ניתנות להכפלה.

The number of columns in the first matrix

מספר הטורים במטריצה הראשונה

has to be the same as the number of rows in the second matrix.

צריך להיות זהה למספר השורות במטריצה השניה.

As long as you're careful

אך כל עוד תקפידו

to match up your dimensions right, though,

שמידות המטריצות תהיינה זהות,

it's pretty easy.

זה די קל.

Understanding matrix multiplication

הבנת הכפלתן של מטריצות

is just the beginning, by the way.

היא רק ההתחלה, אגב.

There's so much you can do with them.

יש הרבה מאד דברים שאפשר לעשות איתן.

For example, let's say you want

לדוגמה, נניח שאתם רוצים

to encrypt a secret message.

להצפין הודעה סודית.

Let's say it's "Math rules".

נניח שההודעה היא "אין כמו המתמטיקה".

Though, why anybody would want to keep this a secret

אם כי, למה מישהו ירצה לשמור זאת בסוד?

is beyond me.

אין לי מושג.

Letting numbers stand for letters,

אם נשתמש במספרים כדי לייצג את האותיות,

you can put the numbers in a matrix

אפשר להציב את המספרים במטריצה

and then an encryption key in another.

וצופן הצפנה במטריצה שניה.

Multiply them together

להכפיל אותן זו בזו

and you've got a new encoded matrix.

וקיבלתם מטריצה מוצפנת חדשה.

The only way to decode the new matrix

הדרך היחידה לפענח את המטרציה החדשה

and read the message

ולקרוא את ההודעה

is to have the key,

היא בעזרת הצופן,

that second matrix.

אותה מטריצה שניה.

There's even a branch of mathematics

יש אפילו ענף במתמטיקה

that uses matrices constantly,

שמשתמש כל הזמן במטריצות,

called Linear Algebra.

והוא קרוי "אלגברה לינארית".

If you ever get a chance to study Linear Algebra,

אם אי-פעם יזדמן לכם ללמוד אלגברה לינארית,

do it, it's pretty awesome.

עשו זאת, זה די מדהים.

But just remember,

רק זיכרו,

once you know how to use matrices,

שכאשר אתם כבר יודעים איך להשתמש במטריצות,

you can do pretty much anything.

אתם יכולים לעשות בעצם הכל.