Can you solve the multiplying rabbits riddle? - Alex Gendler

תרגום: Ido Dekkers עריכה: Allon Sasson

After years of experiments,

אחרי שנים של ניסויים,

you’ve finally created the pets of the future–

יצרתם לבסוף את חיית המחמד של העתיד --

nano-rabbits!

ננו ארנבים!

They’re tiny, they’re fuzzy…

הם זעירים, הם פאזיים...

and they multiply faster than the eye can see.

והם מתרבים מהר יותר משהעין יכולה לראות.

In your lab there are 36 habitat cells,

במעבדה שלכם יש 36 תאי מחיה,

arranged in an inverted pyramid,

מאורגנים בפירמידה הפוכה,

with 8 cells in the top row.

עם 8 תאים בשורה העליונה.

The first has one rabbit,

בראשון יש ארנב אחד,

the second has two, and so on,

בשני שניים, וכך הלאה,

with eight rabbits in the last one.

עם שמונה ארנבים באחרון.

The other rows of cells are empty…

שורות התאים האחרות ריקות.

for now.

בינתיים.

The rabbits are hermaphroditic,

הארנבים הרמפרודיטים,

and each rabbit in a given cell will breed once

וכל ארנב בתא נתון יכול להתרבות פעם אחת

with every rabbit in the horizontally adjacent cells,

עם כל ארנב בתא מקביל אופקית,

producing exactly one offspring each time.

כשהם מייצרים בדיוק צאצא אחד כל פעם.

The newborn rabbits will drop into the cell

הארנבים שנולדו יפלו לתא

directly below the two cells of its parents,

ישירות מתחת לשני התאים של ההורים שלהם,

and within minutes will mature and reproduce in turn.

ותוך דקות יתבגרו ויתרבו בתורם.

Each cell can hold 10^80 nano-rabbits –

כל תא יכול להחזיק 80^10 ננו ארנבים --

that’s a 1 followed by 80 zeros –

זה אחד ואחריו 80 אפסים --

before they break free and overrun the world.

לפני שהם יברחו וישתלטו על העולם.

Your calculations have given you a 46-digit number

החישובים שלכם נתנו לכם מספר בן 46 ספרות

for the count of rabbits in the bottom cell–

למספר הארנבים בתא התחתון --

plenty of room to spare.

הרבה מקום פנוי.

But just as you pull the lever to start the experiment,

אבל כשאתם מושכים בידית כדי להתחיל את הניסוי,

your assistant runs in with terrible news.

העוזר שלכם רץ עם חדשות נוראיות.

A rival lab has sabotaged your code

מעבדה מתחרה חיבלה בקוד שלכם

so that all the zeros at the end of your results got cut off.

כך שהאפסים בסוף התוצאה שלכם נחתכו.

That means you don’t actually know

זה אומר שאתם לא יודעים למעשה

if the bottom cell will be able to hold all the rabbits –

אם התא התחתון יהיה מסוגל להחזיק את כל הארנבים --

and the reproduction is already underway!

וההתרבות כבר החלה!

To make matters worse,

ויותר גרוע,

your devices and calculators are all malfunctioning,

המכשירים והמחשבונים שלכם כולם לא עובדים,

so you only have a few minutes to work it out by hand.

אז יש לכם רק דקות כדי לחשב את זה ידנית.

How many trailing zeros should there be

כמה אפסים עוקבים צריכים להיות שם

at the end of the count of rabbits in the bottom habitat?

בסוף ספירת הארנבים בתא התחתון?

And do you need to pull the emergency shut-down lever?

והאם אתם צריכים למשוך את ידית עצירת החרום?

Pause the video now if you want to figure it out for yourself.

עצרו את הסרטון פה אם אתם רוצים לגלות בעצמכם.

Answer in 3

תשובה עוד 3

Answer in 2

תשובה עוד 2

Answer in 1

תשובה עוד 1

There isn’t enough time to calculate the exact number of rabbits in the final cell.

אין מספיק זמן לחשב את המספר המדוייק של ארנבים בתא האחרון,

The good news is we don’t need to.

החדשות הטובות הם שאנחנו לא צריכים.

All we need to figure out

כל מה שאנחנו צריכים להבין

is how many trailing zeros it has.

זה כמה אפסים עוקבים יש לו.

But how can we know how many trailing zeros a number has

אבל איך אנחנו יכולים לדעת כמה אפסים עוקבים יש למספר

without calculating the number itself?

בלי לחשב את המספר עצמו?

What we do know is that we arrive at the number of rabbits in the bottom cell

מה שאנחנו יודעים זה שהגענו למספר הארנבים בתא התחתון

through a process of multiplication –

דרך תהליך של כפל --

literally.

באופן מילולי.

The number of rabbits in each cell

מספר הארנבים בכל תא

is the product of the number of rabbits in each of the two cells above it.

הוא התוצאה של מספר הארנבים בכל שני תאים מעליו.

And there are only two ways

ויש רק שתי דרכים

to get numbers with trailing zeros through multiplication:

לקבל מספרים עם אפסים עוקבים דרך כפל:

either multiplying a number ending in 5 by any even number,

או בהכפלת מספר שמסתיים ב 5 בכל מספר זוגי,

or by multiplying numbers that have trailing zeroes themselves.

או בהכפלת מספרים שיש להם אפסים עוקבים בעצמם.

Let’s calculate the number of rabbits in the second row

הבה נחשב את מספר הארנבים בשורה השניה

and see what patterns emerge.

ונראה איזה תבניות עולות.

Two of the numbers have trailing zeros –

לשניים מהמספרים יש אפסים עוקבים --

20 rabbits in the fourth cell and 30 in the fifth cell.

20 ארנבים בתא הרביעי ו 30 בחמישי.

But there are no numbers ending in 5.

אבל אין מספרים שמסתיימים ב 5.

And since the only way to get a number ending in 5 through multiplication

ומאחר ששתי הדרכים היחידות לקבל מספר שמסתיים ב 5 דרך כפל

is by starting with a number ending in 5,

הן להתחיל עם מספר שמסתיים ב 5,

there won’t be any more down the line either.

לא יהיו יותר כאלה במורד הדרך.

That means we only need to worry

זה אומר שאנחנו צריכים רק לדאוג

about the numbers that have trailing zeros themselves.

למספרים שיש להם אפסים עוקבים בעצמם.

And a neat trick to figure out the amount of trailing zeros in a product

וטריק נחמד להבין את כמות האפסים העוקבים בתוצאה

is to count and add the trailing zeros in each of the factors –

היא לספור ולחבר את האפסים העוקבים בכל אחד מהגורמים --

for example, 10 x 100 = 1,000.

לדוגמה, 10 * 100 = 1000.

So let’s take the numbers in the fourth and fifth cells

אז הבה נביט במספרים בתאים הרביעי והחמישי

and multiply down from there.

ונכפיל למטה משם.

20 and 30 each have one zero,

20 ו 30 לכל אחד יש אפס אחד,

so the product of both cells will have two trailing zeros,

אז לתוצאה של שני התאים יהיו שני אפסים עוקבים,

while the product of either cell and an adjacent non-zero-ending cell

בעוד התוצאה של כל תא והתאים הסמוכים ללא אפסים עוקבים

will have only one.

יהיה רק אחד.

When we continue all the way down,

כשנמשיך כל הדרך למטה,

we end up with 35 zeros in the bottom cell.

אנחנו מגיעים ל 35 אפסים בתא התחתון.

And if you’re not too stressed about the potential nano-rabbit apocalypse,

ואם אתם לא לחוצים מדי בנוגע לאפוקליפסת ננו ארנבים פוטנציאלית,

you might notice that counting the zeros this way

אולי תשימו לב שספירת האפסים בדרך זו

forms part of Pascal’s triangle.

יוצרת חלק ממשולש פסקל.

Adding those 35 zeros to the 46 digit number we had before

הוספת 35 האפסים למספר בן 46 הספרות מקודם

yields an 81 digit number –

יתן מספר בן 81 ספרות --

too big for the habitat to contain!

גדול מדי מכפי שאזור המחיה של הארנבים יכול להכיל!

You rush over and pull the emergency switch

אתם ממהרים ומושכים את ידית החרום

just as the seventh generation of rabbits was about to mature –

בדיוק כשהדור השביעי של הארנבים עומד להתבגר --

hare-raisingly close to disaster.

קרוב באופן מסמר שיער לאסון.