Can you solve the multiplying rabbits riddle? - Alex Gendler

Traducteur: Claire Ghyselen Relecteur: Morgane Quilfen

After years of experiments,

Après des années de recherche,

you’ve finally created the pets of the future–

vous venez de créer l'animal domestique de l'avenir :

nano-rabbits!

le nano-lapin.

They’re tiny, they’re fuzzy…

Il est tout petit, tout doux...

and they multiply faster than the eye can see.

et se multiplie plus vite que son ombre.

In your lab there are 36 habitat cells,

Votre labo est équipé de 36 cages,

arranged in an inverted pyramid,

positionnées en pyramide inversée.

with 8 cells in the top row.

Il y a huit cages sur la rangée du haut.

The first has one rabbit,

Dans la première cage, il y a un lapin.

the second has two, and so on,

Dans la deuxième, deux lapins et ainsi de suite.

with eight rabbits in the last one.

Il y a donc huit lapins dans la dernière cage.

The other rows of cells are empty…

Toutes les autres rangées sont vides,

for now.

pour l'instant.

The rabbits are hermaphroditic,

Les lapins sont hermaphrodites

and each rabbit in a given cell will breed once

et chacun d'eux dans une cellule donnée se reproduira une fois

with every rabbit in the horizontally adjacent cells,

avec chaque lapin dans les cellules adjacentes sur le plan horizontal.

producing exactly one offspring each time.

Il procréera précisément un rejeton à chaque fois.

The newborn rabbits will drop into the cell

Les lapins nouveaux-nés seront logés dans une cage

directly below the two cells of its parents,

directement en dessous de celles de leurs parents.

and within minutes will mature and reproduce in turn.

En quelques instants, il deviendra pubère et pourra se reproduire aussi.

Each cell can hold 10^80 nano-rabbits –

Chaque cage peut contenir un nombre de lapins de 10 puissance 80,

that’s a 1 followed by 80 zeros –

soit, 1 suivi par 80 zéros,

before they break free and overrun the world.

avant qu'ils ne s'échappent et envahissent le monde.

Your calculations have given you a 46-digit number

Selon vos estimations, on obtient un nombre de 46 chiffres

for the count of rabbits in the bottom cell–

de lapins dans la cellule du bas.

plenty of room to spare.

Il reste encore plein d'espace.

But just as you pull the lever to start the experiment,

Alors que vous allez ouvrir les cages pour commencer votre expérience,

your assistant runs in with terrible news.

votre technicien accourt avec une terrible nouvelle.

A rival lab has sabotaged your code

Un laboratoire concurrent vient de saboter le code

so that all the zeros at the end of your results got cut off.

et le système efface tous les zéros à la fin des résultats obtenus.

That means you don’t actually know

Bref, vous ne savez pas exactement

if the bottom cell will be able to hold all the rabbits –

si la cellule dans le bas de la pyramide, pourra contenir tous les lapins.

and the reproduction is already underway!

Mais la reproduction a déjà commencé.

To make matters worse,

Pour ne rien arranger,

your devices and calculators are all malfunctioning,

vos équipements et systèmes analytiques ne fonctionnent plus bien.

so you only have a few minutes to work it out by hand.

Il ne vous reste plus qu'à faire le calcul à la main.

How many trailing zeros should there be

Combien de zéros devrait-il y avoir

at the end of the count of rabbits in the bottom habitat?

à droite du nombre final de lapin dans la dernière cellule du bas ?

And do you need to pull the emergency shut-down lever?

Devriez-vous interrompre l'expérience en urgence ?

Pause the video now if you want to figure it out for yourself.

Mettez la vidéo sur pause pour faire le calcul.

Answer in 3

Solution dans 3 secondes.

Answer in 2

Solution dans 2 secondes.

Answer in 1

Solution dans 1 seconde.

There isn’t enough time to calculate the exact number of rabbits in the final cell.

On n'a pas le temps de calculer le nombre exact de lapins dans la dernière cage.

The good news is we don’t need to.

Bonne nouvelle : ce n'est pas nécessaire.

All we need to figure out

Nous devons simplement estimer le nombre de zéros à droite.

is how many trailing zeros it has.

But how can we know how many trailing zeros a number has

Mais comment faire pour déterminer ça

without calculating the number itself?

sans calculer le nombre lui-même ?

What we do know is that we arrive at the number of rabbits in the bottom cell

Nous savons que nous obtenons un nombre de lapins dans la dernière cage

through a process of multiplication –

par un processus de multiplication,

literally.

littéralement.

The number of rabbits in each cell

Le nombre de lapins dans chaque cage

is the product of the number of rabbits in each of the two cells above it.

est le produit du nombre de lapins dans les deux cages au-dessus de celle-ci.

And there are only two ways

Or il n'y a que deux manières

to get numbers with trailing zeros through multiplication:

d'obtenir des zéros à droite dans les multiplications.

either multiplying a number ending in 5 by any even number,

Soit on multiplie par un nombre pair un nombre qui se termine par 5,

or by multiplying numbers that have trailing zeroes themselves.

soit on multiplie des nombres qui se terminent avec des zéros.

Let’s calculate the number of rabbits in the second row

Calculons le nombre de lapins dans la deuxième rangée.

and see what patterns emerge.

Il y a une règle qui émerge.

Two of the numbers have trailing zeros –

Deux des nombres ont des zéros à droite.

20 rabbits in the fourth cell and 30 in the fifth cell.

Il y a respectivement 20 et 30 lapins dans les 4ème et 5ème cages.

But there are no numbers ending in 5.

Mais aucun nombre ne se termine par 5.

And since the only way to get a number ending in 5 through multiplication

Sachant qu'une multiplication qui a comme résultat en un nombre qui se termine par 5

is by starting with a number ending in 5,

doit contenir un 5 dans ses facteurs,

there won’t be any more down the line either.

cette option est éliminée.

That means we only need to worry

Nous devons donc nous concentrer

about the numbers that have trailing zeros themselves.

sur les nombres avec des zéros à droite.

And a neat trick to figure out the amount of trailing zeros in a product

L'astuce pour déterminer dans un produit le nombre de zéros à droite

is to count and add the trailing zeros in each of the factors –

consiste à compter le nombre de zéros dans chaque facteur.

for example, 10 x 100 = 1,000.

Par exemple, 10 x 100 = 1 000.

So let’s take the numbers in the fourth and fifth cells

Prenons les nombres des 4ème et 5ème cages

and multiply down from there.

et commençons la multiplication.

20 and 30 each have one zero,

20 et 30 ont chacun un zéro.

so the product of both cells will have two trailing zeros,

Dès lors, le produit des deux cellules contiendra deux zéros à droite.

while the product of either cell and an adjacent non-zero-ending cell

Le produit entre ces cellules et leur cellule voisine respective,

qui ne se termine pas par un zéro,

will have only one.

contiendra un seul zéro à droite.

When we continue all the way down,

Si on continue ainsi jusqu'en bas,

we end up with 35 zeros in the bottom cell.

nous obtenons 35 zéros dans la cellule du bas.

And if you’re not too stressed about the potential nano-rabbit apocalypse,

Si l'éventuelle apocalypse causée par les nano-lapins ne vous distrait pas,

you might notice that counting the zeros this way

vous remarquerez qu'en comptant les zéros de cette manière,

forms part of Pascal’s triangle.

on forme une partie du triangle de Pascal.

Adding those 35 zeros to the 46 digit number we had before

Quand on additionne ces 35 zéros au nombre de 46 chiffres précédent,

yields an 81 digit number –

on obtient un nombre à 81 chiffres,

too big for the habitat to contain!

qui dépasse la capacité de l'habitat.

You rush over and pull the emergency switch

Vous vous précipitez sur la prise de sécurité

just as the seventh generation of rabbits was about to mature –

juste avant que la 7ème génération de lapins n'arrive à maturité,

hare-raisingly close to disaster.

et vous évitez le désastre.