Can you solve the multiplying rabbits riddle? - Alex Gendler

Tradutor: Margarida Ferreira Revisora: Isabel Vaz Belchior

After years of experiments,

Após anos de experiências,

you’ve finally created the pets of the future–

conseguiste criar finalmente os animais de estimação do futuro

nano-rabbits!

— nano-coelhos!

They’re tiny, they’re fuzzy…

São minúsculos, são peludos...

and they multiply faster than the eye can see.

e multiplicam-se mais depressa do que os olhos conseguem ver.

In your lab there are 36 habitat cells,

No teu laboratório há 36 células "habitat",

arranged in an inverted pyramid,

dispostas segundo uma pirâmide invertida,

with 8 cells in the top row.

com oito células na fila do topo.

The first has one rabbit,

A primeira célula tem um coelho,

the second has two, and so on,

a segunda tem dois, e assim sucessivamente,

with eight rabbits in the last one.

com oito coelhos na última célula.

The other rows of cells are empty…

As outras filas de células estão vazias, por enquanto.

for now.

The rabbits are hermaphroditic,

Os coelhos são hermafroditas,

and each rabbit in a given cell will breed once

e cada coelho numa determinada célula acasalará uma vez

with every rabbit in the horizontally adjacent cells,

com cada coelho nas células horizontais adjacentes,

producing exactly one offspring each time.

produzindo exatamente um rebento de cada vez.

The newborn rabbits will drop into the cell

Os coelhos recém-nascidos cairão na célula

directly below the two cells of its parents,

diretamente abaixo das duas células dos seus pais

and within minutes will mature and reproduce in turn.

e, em minutos, tornar-se-ão adultos e reproduzir-se-ão, por sua vez.

Each cell can hold 10^80 nano-rabbits –

Cada célula pode conter 10^80 nano-coelhos

that’s a 1 followed by 80 zeros –

— ou seja, um 1 seguido de 80 zeros —

before they break free and overrun the world.

antes de se libertarem e de se espalharem pelo mundo.

Your calculations have given you a 46-digit number

Os teus cálculos deram-te um número com 46 algarismos

for the count of rabbits in the bottom cell–

para a contagem de coelhos na célula de baixo.

plenty of room to spare.

Ainda fica muito espaço disponível.

But just as you pull the lever to start the experiment,

Mas, quando acionas a alavanca para iniciar a experiência,

your assistant runs in with terrible news.

o teu assistente aparece com notícias terríveis.

A rival lab has sabotaged your code

Um laboratório rival sabotou o teu código

so that all the zeros at the end of your results got cut off.

para desaparecerem todos os zeros no final dos resultados.

That means you don’t actually know

Isso significa que, afinal, não sabes

if the bottom cell will be able to hold all the rabbits –

se a célula de baixo poderá conter todos os coelhos

and the reproduction is already underway!

e a reprodução já está em marcha.

To make matters worse,

Para piorar as coisas,

your devices and calculators are all malfunctioning,

os teus aparelhos e calculadoras estão a funcionar mal

so you only have a few minutes to work it out by hand.

e só tens uns minutos para fazer os cálculos à mão.

How many trailing zeros should there be

Quantos zeros à direita poderá haver

at the end of the count of rabbits in the bottom habitat?

no final da contagem de coelhos no "habitat" de baixo?

And do you need to pull the emergency shut-down lever?

Precisarás de acionar a alavanca de emergência para pôr fim a tudo?

Pause the video now if you want to figure it out for yourself.

[Suspende aqui o vídeo se quiseres resolver sozinho]

Answer in 3

[Resposta em: 3

Answer in 2

[Resposta em: 2

Answer in 1

[Resposta em: 1]

There isn’t enough time to calculate the exact number of rabbits in the final cell.

Não há tempo para calcular o número exato de coelhos na célula final.

The good news is we don’t need to.

Felizmente, não será preciso.

All we need to figure out

Só precisamos de imaginar

is how many trailing zeros it has.

quantos zeros à direita ela tem.

But how can we know how many trailing zeros a number has

Mas como saber quantos zeros à direita tem um número

without calculating the number itself?

sem calcular esse número?

What we do know is that we arrive at the number of rabbits in the bottom cell

Só sabemos que chegamos ao número de coelhos na célula de baixo

through a process of multiplication –

através de um processo de multiplicação — literalmente.

literally.

The number of rabbits in each cell

O número de coelhos em cada célula

is the product of the number of rabbits in each of the two cells above it.

é o produto do número de coelhos em cada duas células acima dela.

And there are only two ways

E só há duas formas

to get numbers with trailing zeros through multiplication:

de obter números com zeros à direita através da multiplicação:

either multiplying a number ending in 5 by any even number,

ou multiplicando um número acabado em 5 por um número par,

or by multiplying numbers that have trailing zeroes themselves.

ou multiplicando números que têm zeros à direita

Let’s calculate the number of rabbits in the second row

Calculemos o número de coelhos na segunda fila

and see what patterns emerge.

e vejamos qual é o padrão que surge.

Two of the numbers have trailing zeros –

Dois dos números têm zeros à direita

20 rabbits in the fourth cell and 30 in the fifth cell.

— 20 coelhos na quarta cela e 30 coelhos na quinta cela.

But there are no numbers ending in 5.

Mas não há números terminados em 5.

And since the only way to get a number ending in 5 through multiplication

Como a única maneira de obter um número terminado em 5,

através da multiplicação,

is by starting with a number ending in 5,

é começar com um número terminado em 5,

there won’t be any more down the line either.

não haverá nenhum na linha seguinte.

That means we only need to worry

Por isso, só precisamos de nos preocupar

about the numbers that have trailing zeros themselves.

com os números que têm zeros à direita.

And a neat trick to figure out the amount of trailing zeros in a product

Um bom truque para ver a quantidade de zeros à direita num produto

is to count and add the trailing zeros in each of the factors –

é contar e somar os zeros à direita em cada um dos fatores

for example, 10 x 100 = 1,000.

— por exemplo, 10 x 100 = 1000.

So let’s take the numbers in the fourth and fifth cells

Então, vejamos os números da quarta e da quinta células

and multiply down from there.

e multipliquemos a partir daí.

20 and 30 each have one zero,

20 e 30 têm um zero, cada um,

so the product of both cells will have two trailing zeros,

portanto o produto de ambas as células terão dois zeros à direita,

while the product of either cell and an adjacent non-zero-ending cell

enquanto o produto de cada célula

por uma célula adjacente que não acabe num zero

will have only one.

terá só um zero.

When we continue all the way down,

Quando continuamos por ali abaixo,

we end up with 35 zeros in the bottom cell.

acabamos com 35 zeros na célula de baixo.

And if you’re not too stressed about the potential nano-rabbit apocalypse,

E, se não estiveres muito nervoso

com o possível apocalipse dos nano-coelhos,

you might notice that counting the zeros this way

talvez repares que contar os zeros deste modo

forms part of Pascal’s triangle.

faz parte do triângulo de Pascal.

Adding those 35 zeros to the 46 digit number we had before

Se acrescentarmos 35 zeros

ao número de 46 algarismos que já tínhamos

yields an 81 digit number –

resulta um número de 81 algarismos

too big for the habitat to contain!

— demasiado grande para caber no "habitat".

You rush over and pull the emergency switch

Apressas-te a acionar a alavanca de emergência

just as the seventh generation of rabbits was about to mature –

mesmo quando a sétima geração de coelhos está a tornar-se adulta,

hare-raisingly close to disaster.

evitando assim o desastre.