Can you solve the basketball riddle? - Dan Katz

المترجم: Shimaa Nabil المدقّق: Nawfal Aljabali

You’ve spent months creating a basketball-playing robot,

لقد أمضيت شهورًا في إنشاء روبوت يلعب كرة السلة،

the Dunk-O-Matic,

Dunk-O-Matic،

and you’re excited to demonstrate it at the prestigious Sportecha Conference.

وأنت متحمس لعرض ذلك في مؤتمر Sportecha المرموق.

Until you read an advertisement:

حتى تقرأ إعلانًا:

“See the Dunk-O-Matic face human players and automatically adjust its skill

«شاهد Dunk-O-Matic يواجه لاعبين بشريين وقم بتعديل مهارته تلقائيًا

to create a fair game for every opponent!”

لإنشاء لعبة عادلة لكل خصم!»

That's not what you were told to create.

هذا ليس ما طُلب منك إنشاؤه.

You designed a robot that shoots baskets,

لقد صممت روبوتًا يطلق الكرة على السلال،

sometimes successfully and sometimes not, taking turns with a human opponent.

أحيانًا بنجاح وأحيانًا لا، بالتناوب مع خصم بشري.

No one said anything about teaching it to adjust its performance.

لم يقل أحد أي شيء عن تعليمها لتعديل أدائها.

Maybe the CEO skimmed an article about AI and overpromised,

ربما قام الرئيس التنفيذي بقراءة مقال عن الذكاء الاصطناعي ووعد أكثر من اللازم،

setting you up for public embarrassment.

مما جعلك تتعرض للإحراج العام.

Luckily, you installed a feature where given any probability q,

لحسن الحظ، قمت بتثبيت ميزة نظرًا لأي احتمال س،

you can adjust the robot to have that probability of success on each attempt.

يمكنك ضبط الروبوت للحصول على احتمال النجاح في كل محاولة.

You swiftly gather information, and jackpot:

يمكنك جمع المعلومات بسرعة والفوز بالجائزة الكبرى:

your team has a dossier on all potential demo participants,

يمتلك فريقك ملفًا عن جميع المشاركين التجريبيين المحتملين،

including the probability each has of making baskets.

بما في ذلك احتمال قيام كل منهم بصنع سلال.

In each match, the human shoots first, then the robot, then the human again,

في كل مباراة، يطلق الإنسان الكرة أولاً، ثم الروبوت، ثم الإنسان مرة أخرى،

and so on until someone makes the first successful basket and wins.

وهكذا حتى يصنع شخص ما أول تصويبة ناجحة ويفوز.

You can remotely adjust the Dunk-O-Matic’s probability between opponents.

يمكنك ضبط احتمالية Dunk-O-Matic عن بُعد بين الخصوم.

What should that probability be for each opponent,

ماذا يجب أن يكون هذا الاحتمال لكل خصم،

so that the human has a 50% chance of winning each match?

بحيث يكون لدى الإنسان فرصة 50٪ للفوز في كل مباراة؟

Pause here to figure it out yourself. Answer in 3

توقف هنا لمعرفة ذلك بنفسك. الإجابة بعد 3

Answer in 2

الإجابة بعد 2

Answer in 1

الإجابة بعد 1

You might guess that q should be equal to p.

قد تعتقد أن q يجب أن تساوي p،

But that ignores the advantage of going first.

لكن هذا يتجاهل ميزة البدء أولاً.

Suppose p and q are both 100%.

لنفترض أن كل من p و q هما 100٪.

Even though the competitors are equally skilled,

على الرغم من أن المنافسين يتمتعون بنفس المهارات،

the first player always wins.

إلا أن اللاعب الأول يفوز دائمًا.

So a deeper analysis is required.

لذلك يلزم إجراء تحليل أعمق.

One approach involves adding up every chance the human has to win,

تتضمن إحدى الطرق جمع كل فرصة لدى الإنسان للفوز

using geometric series.

باستخدام السلاسل الهندسية.

A geometric series is an infinite sum of numbers,

المتسلسلة الهندسية هي مجموع لا نهائي من الأرقام،

where each number is the previous number multiplied by a common ratio.

حيث يكون كل رقم هو الرقم السابق مضروبًا في نسبة مشتركة.

Two facts about geometric series are useful here.

هناك حقيقتان حول المتسلسلات الهندسية مفيدتان هنا.

First, if the common ratio r of a geometric series

أولاً، إذا كانت النسبة الشائعة r لسلسلة هندسية

has absolute value less than 1,

لها قيمة مطلقة أقل من 1،

the series has a finite total.

فإن السلسلة لها إجمالي محدود.

And second, if the first number in the series is a,

وثانيًا، إذا كان الرقم الأول في السلسلة هو a،

that total is: a divided by 1-minus-r.

فإن هذا الإجمالي هو: a مقسومًا على 1-minus-r.

How does this help us calibrate our robot?

كيف يساعدنا ذلك في معايرة الروبوت الخاص بنا؟

Remember that the human has probability p of making a basket.

تذكر أن الإنسان لديه احتمال p لصنع سلة.

Since they go first, they have probability p of winning on the first try.

نظرًا لأنهم يتقدمون أولاً، فمن المحتمل أن يفوزوا في المحاولة الأولى.

What’s the probability that they win on the second try?

ما احتمال فوزهم في المحاولة الثانية؟

That attempt only happens if both players miss.

تحدث هذه المحاولة فقط إذا أخطأ كلا اللاعبين.

The probability of a miss is 1 minus the probability of a success,

احتمال الفشل هو 1 ناقص احتمال النجاح،

so the miss probabilities are 1-minus-p and 1-minus-q.

وبالتالي فإن احتمالات الفشل هي 1-minus-p و 1-minus-q.

The chance of both happening is the product of those values.

فرصة حدوث كليهما هي نتاج تلك القيم.

So the probability of two failures and then a human success

لذا فإن احتمال حدوث فشلين ثم نجاح الإنسان

is p times (1-minus-p) times (1-minus-q).

هو p times (1-minus-p) مرات (1-minus-q).

Winning on the third try requires another round of misses,

يتطلب الفوز في المحاولة الثالثة جولة أخرى من الأخطاء،

so that chance is p multiplied by the double-miss probability twice.

بحيث يتم ضرب هذه الفرصة في احتمال الخطأ المزدوج مرتين.

If we add all the possible probabilities of a human win,

إذا أضفنا جميع الاحتمالات المحتملة للفوز البشري،

the total is the sum of a geometric series.

فإن المجموع هو مجموع سلسلة هندسية.

Since the first number in the series is p,

نظرًا لأن الرقم الأول في السلسلة هو p،

and the ratio is this product that’s less than 1,

والنسبة هي هذا المنتج الأقل من 1،

the sum will be (p divided by 1) minus the ratio.

فسيكون المجموع (p مقسومًا على 1) مطروحًا منه النسبة.

We want this sum to be 1/2.

نريد أن يكون هذا المجموع 1/2.

Using some algebra to solve for q,

باستخدام بعض الجبر لحل q،

we find that q should equal p divided by 1-minus-p.

نجد أن q يجب أن يساوي p مقسومًا على 1-minus-p.

If p is greater than 50%, q would need to be bigger than 1,

إذا كانت p أكبر من 50٪، فيجب أن تكون q أكبر من 1،

which can’t happen.

وهذا لا يمكن أن يحدث.

In that case, a fair game is impossible,

في هذه الحالة، تكون اللعبة العادلة مستحيلة،

because the human has a better-than-50% chance of winning immediately.

لأن الإنسان لديه فرصة أفضل من -50٪ للفوز على الفور.

The robot's total probability is also the total of a geometric series.

الاحتمال الإجمالي للروبوت هو أيضًا إجمالي سلسلة هندسية.

How does this series compare to the human’s?

كيف يمكن مقارنة هذه السلسلة بالإنسان؟

To win, the robot needs some number of double misses,

للفوز، يحتاج الروبوت إلى عدد من الأخطاء المزدوجة،

then a human failure followed by a robot success.

ثم فشل بشري يتبعه نجاح الروبوت.

If q equals p over 1-minus-p,

إذا كانت q تساوي p على 1-minus-p،

(1-minus-p) times q is p.

فإن (1-minus-p) مضروبًا في q تساوي p،

For our choice of q, not only do these series have the same sum,

بالنسبة لاختيارنا لـ q، لا تحتوي هذه السلاسل على نفس المجموع فحسب،

but they’re the same series!

بل إنها نفس السلسلة!

We could bypass geometric series by starting with this reasoning.

يمكننا تجاوز المتسلسلات الهندسية بالبدء بهذا المنطق.

The robot’s chances of winning in the first round is (1-minus-p) times q,

فرص الروبوت للفوز في الجولة الأولى هي (1-minus-p) مضروبًا في q،

and so if we want that chance to match the human’s first-round chance,

ولذا إذا أردنا أن تتطابق تلك الفرصة مع فرصة الإنسان في الجولة الأولى،

we want it to equal p, making q: p over 1-minus-p.

فإننا نريدها أن تساوي p، مما يجعل q:p فوق 1-minus-p.

More rounds may occur, but before each round,

قد تحدث المزيد من الجولات، ولكن قبل كل جولة،

the competitors are tied, so everything effectively restarts.

يتم تعادل المتنافسين، لذلك تتم إعادة تشغيل كل شيء بشكل فعال.

If they have the same odds of winning in the first round,

إذا كانت لديهم نفس احتمالات الفوز في الجولة الأولى،

they also will in the second round, and so on.

فسوف يفعلون ذلك أيضًا في الجولة الثانية، وهكذا.

The demonstration goes perfectly,

تسير المظاهرة بشكل مثالي،

but while you didn't want to embarrass yourself,

ولكن على الرغم من أنك لم ترغب في إحراج نفسك،

you also didn’t want to deceive the public.

إلا أنك لم ترغب أيضًا في خداع الجمهور.

Taking the stage, you explain your company’s false promises

على خشبة المسرح، تشرح الوعود الكاذبة لشركتك

and your hastily ad-libbed solution.

والحل الإعلاني الذي قدمته على عجل.

Thankfully, the ensuing bad press is directed at your employers,

لحسن الحظ، فإن الصحافة السيئة التي تلت ذلك موجهة إلى أصحاب العمل،

and it turns out the presentation volunteers

واتضح أن متطوعي العرض

own a more employee-friendly robotics company.

يمتلكون شركة روبوتات أكثر ملاءمة للموظفين.

After some tedious intellectual property litigation,

بعد بعض الدعاوى الشاقة المتعلقة بالملكية الفكرية،

you find yourself at a healthier workplace

تجد نفسك في مكان عمل أكثر صحة

with a regular spot on a pickup basketball team.

مع مكان منتظم في فريق كرة السلة.