Can you solve the basketball riddle? - Dan Katz

Переводчик: Виталия Хлыстун Редактор: Natalia Savvidi

You’ve spent months creating a basketball-playing robot,

Вы потратили месяцы на создание робота-баскетболиста,

the Dunk-O-Matic,

Dunk-O-Matic,

and you’re excited to demonstrate it at the prestigious Sportecha Conference.

и с нетерпением ожидали возможности

продемонстрировать его на престижной конференции Sportecha.

Until you read an advertisement:

Пока вы не прочитали рекламное объявление:

“See the Dunk-O-Matic face human players and automatically adjust its skill

«Посмотрите, как Dunk-O-Matic противостоит игрокам, автоматически подстраиваясь так,

to create a fair game for every opponent!”

чтобы игра была справедливой для каждого!»

That's not what you were told to create.

Это совсем не то, что вам поручили создать.

You designed a robot that shoots baskets,

Вы создали робота, который бросает мяч в корзину,

sometimes successfully and sometimes not, taking turns with a human opponent.

иногда удачно, а иногда нет, по очереди с противником-человеком.

No one said anything about teaching it to adjust its performance.

Никто не говорил о необходимости научить его подстраиваться под оппонента.

Maybe the CEO skimmed an article about AI and overpromised,

Возможно, генеральный директор пролистал статью об ИИ и наобещал лишнего,

setting you up for public embarrassment.

что поставит вас в неловкое положение.

Luckily, you installed a feature where given any probability q,

К счастью, вы установили функцию, позволяющую для любой вероятности q

you can adjust the robot to have that probability of success on each attempt.

настроить робота так,

чтобы при каждой попытке вероятность его успеха была равна q.

You swiftly gather information, and jackpot:

Вы быстро собираете информацию, и — какая удача! —

your team has a dossier on all potential demo participants,

у вашей команды есть досье на всех потенциальных участников демонстрации,

including the probability each has of making baskets.

включая вероятность их успешного броска.

In each match, the human shoots first, then the robot, then the human again,

В каждом матче сначала бросает человек, затем робот, затем снова человек

and so on until someone makes the first successful basket and wins.

и так далее, пока кто-то не сделает первый успешный бросок и не выиграет.

You can remotely adjust the Dunk-O-Matic’s probability between opponents.

При смене противника вы можете удалённо настраивать Dunk-O-Matic.

What should that probability be for each opponent,

Какова должна быть вероятность попадания для каждого соперника,

so that the human has a 50% chance of winning each match?

если человек должен побеждать в каждом матче с вероятностью 50%?

Pause here to figure it out yourself. Answer in 3

Остановите видео, чтобы найти решение самостоятельно.

Answer in 2

Ответ через: 3

Ответ через: 2

Answer in 1

Ответ через: 1

You might guess that q should be equal to p.

Вы догадались, что q должно быть равно p.

But that ignores the advantage of going first.

При этом не учитывается преимущество первого броска.

Suppose p and q are both 100%.

Предположим, что p и q равны 100%.

Even though the competitors are equally skilled,

Даже если соперники играют одинаково хорошо,

the first player always wins.

тот, кто бросает первым, всегда выигрывает.

So a deeper analysis is required.

Поэтому требуется более глубокий анализ.

One approach involves adding up every chance the human has to win,

Один из подходов предполагает суммирование всех шансов человека на победу

using geometric series.

с помощью геометрической прогрессии.

A geometric series is an infinite sum of numbers,

Геометрическая прогрессия — это бесконечная сумма чисел,

where each number is the previous number multiplied by a common ratio.

в которой каждое число — это предыдущее, умноженное на знаменатель прогрессии.

Two facts about geometric series are useful here.

Здесь нам пригодятся два факта о геометрической прогрессии.

First, if the common ratio r of a geometric series

Во-первых, если абсолютное значение знаменателя геометрической прогрессии r

has absolute value less than 1,

меньше 1,

the series has a finite total.

то сумма этой прогрессия конечна.

And second, if the first number in the series is a,

Во-вторых, если первое число прогрессии равно a,

that total is: a divided by 1-minus-r.

то сумма равна a/(1 - r).

How does this help us calibrate our robot?

Как это поможет нам настроить робота?

Remember that the human has probability p of making a basket.

Помните, что человек попадёт в корзину с вероятностью p.

Since they go first, they have probability p of winning on the first try.

Если он бросает первым,

вероятность выиграть с первой попытки равна p.

What’s the probability that they win on the second try?

Какая у него вероятность выиграть со второй попытки?

That attempt only happens if both players miss.

Это произойдёт только в случае промаха обоих игроков.

The probability of a miss is 1 minus the probability of a success,

Вероятность промаха равна 1 минус вероятность успеха,

so the miss probabilities are 1-minus-p and 1-minus-q.

то есть вероятности промаха равны (1 - p) и (1 - q).

The chance of both happening is the product of those values.

Вероятность обоих событий, равна произведению этих значений.

So the probability of two failures and then a human success

Таким образом, вероятность двух неудач, а затем успеха человека

is p times (1-minus-p) times (1-minus-q).

равна p x (1 - p) x (1 - q).

Winning on the third try requires another round of misses,

Для победы с третьей попытки требуется ещё один цикл промахов,

so that chance is p multiplied by the double-miss probability twice.

поэтому этот шанс равен p,

умноженному на вероятность двойного промаха в квадрате.

If we add all the possible probabilities of a human win,

Если сложить все возможные вероятности выигрыша человека,

the total is the sum of a geometric series.

то общая сумма будет равна сумме геометрической прогрессии.

Since the first number in the series is p,

Поскольку первое число прогрессии равно p,

and the ratio is this product that’s less than 1,

а её знаменатель — это произведение, которое меньше 1,

the sum will be (p divided by 1) minus the ratio.

то сумма будет равна p, делённому на (1 - знаменатель прогрессии).

We want this sum to be 1/2.

Мы хотим, чтобы эта сумма была равна 1/2.

Using some algebra to solve for q,

Используя алгебру для нахождения q,

we find that q should equal p divided by 1-minus-p.

мы обнаруживаем, что q должно равняться p, делённому на (1 минус p).

If p is greater than 50%, q would need to be bigger than 1,

Если p больше 50%, то значение q должно быть больше 1,

which can’t happen.

что невозможно.

In that case, a fair game is impossible,

В этом случае честная игра невозможна,

because the human has a better-than-50% chance of winning immediately.

поскольку вероятность выигрыша человека с первого раза равна больше 50%.

The robot's total probability is also the total of a geometric series.

Общая вероятность робота также равна сумме геометрической прогрессии.

How does this series compare to the human’s?

Как она соотносится с вероятностью человека?

To win, the robot needs some number of double misses,

Чтобы победить, роботу нужно несколько двойных промахов,

then a human failure followed by a robot success.

затем промах человека, а после — успех робота.

If q equals p over 1-minus-p,

Если значение q равно p, делённому на (1 минус p),

(1-minus-p) times q is p.

то (1 - p) x q = p.

For our choice of q, not only do these series have the same sum,

Для нашего q эти прогрессии не только приводят к одинаковой сумме,

but they’re the same series!

но и являются одной и той же прогрессией!

We could bypass geometric series by starting with this reasoning.

Мы можем перехитрить геометрическую прогрессию и начать с этого рассуждения.

The robot’s chances of winning in the first round is (1-minus-p) times q,

Шансы робота на победу в первом раунде равны (1 - p) x q.

and so if we want that chance to match the human’s first-round chance,

Если мы хотим, чтобы этот шанс был равен шансу человека на победу в первом раунде,

we want it to equal p, making q: p over 1-minus-p.

нам надо, чтобы он был равен p, а q должно равняться p / (1 - p).

More rounds may occur, but before each round,

Раундов может быть больше, но перед каждым раундом

the competitors are tied, so everything effectively restarts.

соперники играют вничью, поэтому всё начинается заново.

If they have the same odds of winning in the first round,

Если у них одинаковые шансы на победу в первом раунде,

they also will in the second round, and so on.

так же будет и во втором раунде, и так далее.

The demonstration goes perfectly,

Демонстрация прошла отлично,

but while you didn't want to embarrass yourself,

но вы не хотели ни ставить себя в неловкое положение,

you also didn’t want to deceive the public.

ни обманывать публику.

Поэтому, выходя на сцену, вы объясняете,

Taking the stage, you explain your company’s false promises

что обещания вашей компании не соответствуют действительности,

and your hastily ad-libbed solution.

и приводите своё поспешно придуманное решение.

Thankfully, the ensuing bad press is directed at your employers,

К счастью, пресса критикует только ваших работодателей,

and it turns out the presentation volunteers

и оказывается, что волонтёры на презентации

own a more employee-friendly robotics company.

владеют робототехнической компанией, хорошо относящейся к сотрудникам.

After some tedious intellectual property litigation,

После судебных разбирательств по вопросам интеллектуальной собственности

you find yourself at a healthier workplace

вы оказались в месте с более здоровой рабочей атмосферой

with a regular spot on a pickup basketball team.

и получили членство в баскетбольной команде.